Pitagorasen teorema, ez zuen Pitagorasek aurkitu!

Pitagoras Samoskoa

Maiz entzungo zenuen Pitagorasen teorema, baina zer da teorema bat? Baieztapen edo esaldi bat besterik ez da, beti egia izango dena, froga matematikoak erabiliz hala demostratu delako. Beste modu batera esanda, matematikariei buruhausteak ekarri dizkieten ideia horietakoak, behin kalkuluak eta frogak eginda, betirako lasai uzten dituena.



Eta nor ote zen Pitagoras famatu hori? Greziako Samos irlako gizon bat omen zen (K.a. VI. mendean jaiotakoa), nahiko bitxia dirudienez. Bere bizitzak liburu bat beteko luke, baina orain ez da horretarako momentua.


Hortaz, bi kontzeptu horiek argi utzita, hortxe doa teorema ospetsua: "triangelu zuzen guztietan, hipotenusaren karratua katetoen karratuen baturaren berdina da". Horixe da dena. Gustura geratuko zen gure Pitagoras jauna, ezta? Hipotenusa angelu zuzenaren aurrean dagoen aldea da (luzeena), eta katetoak gainontzeko bi aldeak (motzenak). Karratuak esaten direnean, berbiduraz ari gara.

Esan beharra dago esaldiaren bi norantzak kontutan hartu behar ditugula: alde batetik, triangelu zuzen guztien aldeek beteko dutela formula hori; bestetik, formula hori betetzen duten alde-hirukote guztiek, triangelu zuzen bat osatuko dutela.

Hala eta guztiz ere, oraindik gakoa argitu gabe dugu: izan al zen gizon bitxi hori teorema aurkitu zuena? Merezi al du bere izenak eskola liburu guztietan agertzea? Bera izan zen Antzinako Grezia garaian teoremaren lehenengo demostrazio formala eman zuena (momentu hartako matematikarien helburua dena frogatzea zen), baina teorema milaka urte lehenago ezagutzen zen.

Antzinako Egipton (K.a. 3100. urtearen inguruan), Nilo ibaiaren uholdeen erruz inguruko lursailak urtez urte berriro neurtu behar zituzten. Neurketa horiek egiteko 13 korapiloko soka erabiltzen zen, 3-4-5 aldeak dituen triangelu horrek angelu zuzena ziurtatzen zuelako. Zuk zeuk froga dezakegu ea zenbaki-hirukote horrek Pitagorasen teorema betetzen duen ala ez: 5en karratua, ba al da 3 eta 4ren karratuen baturaren berdina? Egin kalkuluak.

Babiloniako zibiliazioan ere (K.a. 1800. urtearen inguruan), buztinezko tauletan Pitagorasen teorema betetzen zuten zenbaki-hirukote horien adibideak agertzen zaizkigu, ziurrenik irakasleek ikasleei proposaturiko ariketa gisa eta teoremaren kontzientziarik gabe. Hirukote pitagorikoen multiploak ere kontutan har ditzakegu: adibidez, (3,4,5) aldeen triangelua zuzena da, beraz (6,8,10) edo (9, 12, 15) ere izango dira. Aukerak mugagabeak dira.

Hirukote pitagoriko batzuk

  
Txinan K.a. 1000. urtearen inguruan teoremaren ezagupena eta lehen demostrazioa ere aurki ditzakegu, Matematikako artearen lehen bederatzi kapituluak izeneko obran.

Laburbilduz, teorema aldez aurretik ezagutzen bazen ere, Pitagorasi demostrazioaren meritua zor diogu. Ez hori bakarrik! Orduz geroztik, historian zehar demostrazio gehien izan dituen teorema izan da. Adibide gisa,  1940. urtean Loomis-ek teoremaren 367 froga bildu zituen liburu batean. Nork pentsa lezake erlazio berera iristeko hainbeste bide desberdin dauzkagula? Beheko irudian klik eginez, GeoGebra tresnaren bidez demostrazio horietako batzuk aurkituko dituzu, eta horiek eredutzat hartuta, kartulina eta guraizeekin zuk zeuk eraiki dezakezu zeure demostrazioaren puzle propioa. Anima zaitez!

Pitagorasen teoremaren demostrazioetako baten irudia

Eta haratago joan nahi baduzu, zeure tramankulu propioa eraiki dezakezu. Hona hemen beste adibide bat:

Eskerrik asko: Marcus du Satoy, Manuel Sada, Clifford A. Pickover, Anne Rooney.