Emakumeen oztopo-lasterketa matematikan

Zenbat emakume matematikariren izena ezagutzen duzu? Ziur aski bakarra edo batere ez. Antzinatasunetik ditugu emakume garrantzitsuak matematikan, baina haiei buruz gutxi aipatzen da. Zergatik orduan ez dira aipatzen XX. mendea baino lehenagoko emakume hauen izenak? Beste batzuen artean hau esaten zen: zientziarako gaitasun falta zutela, hezkuntza matematiko bat lortzeko zailtasunak zituztela, etxeko lanak haiek egin behar zituztela... emakumea ezin zela gizona bezain emankorra izan ezagutzaren arloan.

Kasu hau, zientzialariena alegia, emakumeek gizartean izan dituzten oztopoen adibideetako bat baino ez da. Ezin dira ahaztu bizitzako beste arloetan izan dituztenak ere. Eta horrexegatik merezi dute, gutxienez, aipamen propio bat blog honetan. Honen bitartez, haien lan matematikoetan ez ezik, bizitzaren oztopoekin zerikusia duten bitxikerietan ere murgilduko zara.

Hypatia Alexandriakoa (ca. 370 - ca. 415)

Lehendabiziko emakume matematikari ezaguna dugu Hipatia!!! Greziarra, K.o. 415.ean hildakoa. Teon, bere aita, arduratu zen bere heziketa matematikoaz. Berari esker bihurtu zen Atenasko Eskolako irakasle, eta harekin batera egin zituen Grezia klasikoko matematikari ospetsuen obren iruzkina: Diofantoren Aritmetika, Apolonioren Konikak, Ptolomeoren Almagestoren III. liburua edota Euklidesen Elementuak.

Hipatiaren bizitzaz bere heriotza dugu esanguratsuena. Zirilo apezpikuak ez zuen ametitu emakume bat zientzian jardutea; gainera gehiengoarentzat hain arraroa zen emakume bat zientzian, horrexegatik bere aurkako gorroto giro bat eragin zuela. 415. urteko martxoan euren onetik aterata zeuden kristau talde batek erail zuen. Alexandriako erdialdean topatu zuten, “gurditik atera zuten; biluzik utzi; azala eta haragiak ebaki zizkioten, harik eta arnasak bere gorputza utzi arte; bere gorputza zatikatu zuten...”. Hipatiaren hiltzaileak ez zituzten zigortu.

Madame Du Châtelet (1706-1749)

Frantziarra. Descartesen obra ikasi zuen, eta Newton nahiz Leibnitz-en kalkulu diferentziala eta integrala ere ikasi zituen (batxilergoko ikasleek badakite zer den hau...). Gazteei fisika frantsesez irakasteko libururik ez zegoen, eta berak uste zuen mundua ulertzeko ezinbesteko jakintzagaia zela. Hala, 1745.ean Newtonen Philosophiae Naturalis Principia Mathematica latinetik frantsesera itzultzen hasi zen, iruzkin baliagarriak eta zabalak eginez eta ulerkortasuna asko errazten zuten gehigarriak erantsiz. Lan honekin Newtonen jakintza zientifikoak zabaldu zituen Ingalaterratik Europa osora. 1749.ean Madame Châtelet hil zenerako bere itzulpena amaituta zegoen. Azkenean, Voltaireren aitzinsolasarekin 1759.ean argitaratu zen.

Maria Gaetana Agnesi (1718-1799)

Italiarra. Bere anai-arrebei irakasteko gogo hura, gazteendako liburu baten argitalpen batekin bukatu zuen. Bertan kurben propietateak azaltzen zituen: maximoak, minimoak, inflexio puntuak, tangenteak... Kurben artean, nabarmentzekoa da hirugarren mailako kurba baten ikerketa, gaur egun "Agnesi-ren kurba" izenez ezagutzen duguna. Bere bizitzari dagokionez, zorigaiztoari aurre egin behar izan ziola esan dezakegu: ama 14 urte zituenean hil zitzaion, eta aita 34 zituenean, orduz geroztik komentu batean sartzea erabaki zuen.

Sophie Germain (1776-1831)

Frantziarra. Bere haurtzaroan Frantzian izan ziren aldaketek, gizartekoek zein politikoek, eragin handia izan zuten Sophieren bizitzan. Bereziki, geometriako arazo batean murgilduta zegoelarik, soldadu erromatarrek Arkimedes hil zuteneko kondairak harritu zuen Sophie. Gudaz ahaztarazteko matematikaren eragin boteretsuarekin hain hunkituta geratu zen, non hura ikasteari ekin zion. Hemezortzi urte zituenean, Lagrangeren analisiari buruzko apunte batzuk lortu zituen, eta emakume izateagatik bere ideiak gutxiesteko beldur zenez, gizonezko ezizen batekin sinatu zituen; hain interesgarria iruditu zitzaion Lagrange-ri bere lana, ezagutu eta horrezkero bere aholkulari bihurtu zen, geroztik zientzien munduan murgildu zelarik.  

Bere lanen artean bi dira nabarmendu ditzakegunak: zenbakien teorian, Fermaten azken teoremaren froga partziala (n berdin 5rako aierua), eta teoria matematiko baten bitartez gainazal elastikoen portaerari buruz egindako azalpena,  Pariseko Zientzietako Akademiaren saria merezi izan zuen.

Sonya Kovaleskaia (1850-1891)

Errusiarra. Bertan emakumeek ezin zutenez unibertsitatean ikasi, neskek era kurioso bat aurkitu zuten herritik ateratzeko eta ikasi ahal izateko: mutil bat konbentzitu komenientziagatik ezkontzeko; hura egin zuen honek. Hala, Alemanian Weierstrass matematikari azpimarragarriarekin ikastera joan zen. Bere ikerketak analisi matematikoan burutu zituen, bere tesiaren hiru lanak honako hauek izan ziren, hain zuzen: deribatu partzialezko ekuazioen soluzioen existentzia eta bakartasunari buruz mintzatzen den Cauchy-Kovaleskayaren teorema, Saturnoren eraztunen itxurari buruzko Laplaceren ikerkuntzei gehigarriak eta integral mota zehatz bati buruz.

Emmy Noether (1882-1935)

Alemaniarra. Inbariante algebraikoei buruzko bere lehen espezializazioaren bitartez, energiaren kontserbazioaren problema ebazten baimendu zuten erlatibitatearen teoriarentzako funtsezko bi teorema  demostratzea lortu zuen. Bere ekarpenik garrantzitsuenak ikerketa matematikoan axiomatizazioari buruzkoak eta eraztunen, moduluen, idealen, eragileekin taldeen... azken finean teoria algebraikoan izan ziren.

Saiakera batzuen ostean, 1919.ean lortu zuen unibertsitatean irakasle postu bat, baina 1933.ean nazien erruz, jatorri judua zuenez, Estatu Batuetara alde egin behar izan zuen. Matematikari elkarteak urteetan zehar ez ikusiarena egiten zion arren, azkenean jendearen esker ona lortu zuen bere lan garrantzitsuei esker.

Eskerrik asko González Maján,  RSME, zientzia.net,

π, munduko zenbakirik ospetsuena

Pi zenbakia zirkulu baten perimetroa eta diametroaren arteko zatiketa da. Berdin da zein den zirkuluaren tamaina, handia ala txikia pi beti berdina da. Froga ezazu hari bat eta erregela erabiliz, pi-ren hurbilketa bat lortuko duzu eta.

Zergatik pi izena? π ikurra William Jones-ek barneratu zuen 1706. urtean, ondoren Eulerrek zabaldu zuelarik. Ikurra grekeraz periferia eta perimetro hitzen lehendabiziko hizkitik dator: περιφέρεια (periferia) , περίμετρον (perimetro).

Baina zenbat da pi zehazki? Ondoko bideoko bi neskena zuri ez gertatzeko, irakurri arretaz pi-ri buruz kontatzen dizudana.

Pi gero eta zehatzago historian zehar

Ziurrenik, jadanik Antzinaroan jabetu ziren perimetroa eta diametroaren arteko erlazioaz, edozein tamainako gurpilak bira bat egitean gutxi gorabehera hiru aldiz diametroko luzera egiten zuelako.

Mankala jokuaren pauso bat

Pi-ren historia egipziarrekin hasten da, matematiken kontzeptu asko bezala. K.a. 1650 inguruko Rhind papiroan zirkuluen azalera kalkulatzen bazekitela egiaztatzen da, baina harrigarriena kalkulu horren zehaztasunean dago. Teoria batek dio Mankala jokuaren erabileran dagoela aurkikuntza honen jatorria. Esaten da seguruenik monjeak honetara jolasten zeudela, konturatu zirela honetaz: aldea 8-koa duen karratu baten azalera, diametroa 9-koa duen zirkulu baten azaleraren antzekoa da. Bi hauen azalerak erlazionatuz, saia zaitez zu zeu lortzen pi-ren balioa (3'16 inguruko balioa lortu zuten egipziarrek).

Hala eta guztiz ere, Grezia klasikoan dugu pi-ren teoria sakonago bat. K.a. 225. urtearen inguruan Arkimedes Sirakusakoa matematikari, fisikari eta astronomo ospetsuak pi-ren balioa mugatu egin zuen, aldi berean mende batzuk geroago funtsezkoa izango zen metodo bat erabiliz: exhauzio metodoa. Zirkunferentziaren perimetroa modu zehatzean kalkulatzeko bi hexagono marraztu zituen, bata zirkunferentziaren barrualdea ukitzen (hexagono inskribatua) eta bestea kanpoaldea ukitzen (hexagono zirkunskribatua). Hexagonoaren perimetroa era zehatzean kalkula daitekeenez, Arkimedesek nahikoa zuen bi hexagonoen perimetroa kalkulatzearekin zirkunferentziaren perimetroa ze bi balioaren artean zegoen esateko.

Arkimedes Sirakusakoa eta pi-ren hurbilketa

Gero eta alde gehiago eduki marraztutako poligonoak, orduan eta zehaztasun gehiagorekin eman zitekeen pi-ren balioa. Hori dela eta, Arkimedes 6 aldeko poligonoarekin hasi zen arren, alde kopurua bikoizten joan zen 96 aldeko poligonoa erabili arte. Metodo honen bitartez, irudian agertzen diren bi balioetara iritsi zen.

Egipto, Grezia eta gero Txinako pentsalariek honetan jardun zuten, baina XII. mendetik aurrera, gaur egungo zenbakikuntza sistemarekin batera asko erraztu zen pi-ren balioa lortzeko kalkulua, eta zer esan lehendabiziko ordenagailuak agertu zirenetik!!! 

Denok uste dugunez, pi zenbakiaren erabilera praktikoa zirkuluen kalkuluetan dago, baina arraroa badirudi ere, 1673. urtean Leibnitz matematikariak pi zirkuluetatik urrundu eta zatikien serie infinitu batekin lotu zuen (ea zuk zeuk lortzen duzun segida horren gai orokorra):

Pi-ri buruz hitz egin dugu dagoeneko, baina zein da zenbaki hori? Zenbat hamartar ditu? Lehen ordenagailuekin zifra asko lortu direla badakigu, baina zifra kopurua amaiezina da, patroi errepikakorrik gabeko infinitu zifra baititu. 1761. urtean Lambert matematikariak demostratu zuen pi zenbakia irrazionala dela (ezin dela bi zenbaki osoren arteko zatiketa eran adierazi, eta infinitu hamartar ez periodikoak dituela), eta 1882. urtean Lindemann matematikariak pi transzendentea dela, hau da, ekuazio polinomikoen soluzioa ez dela.

Zertarako balio digu π zenbakiak? 

Lehenengo ordenagailua asmatu zenetik pi-ren zifra hamartar asko lortu dira, gaur egun bilioi bat zifra inguru ezagutzen direlarik. Hala eta guztiz ere, pi-ren zifra gutxirekin nahikoa izaten da kalkulu zehatzak egiteko.  Orduan, zertarako behar ditugu jakin hainbeste zifra? Adibidez, ordenagailu batek pi-ren zifrak lortzen ematen duen abiadura erabiltzen da ordenagailu horren trebezia konputazionala neurtzeko.

Hala ere, oraindik ez baduzu argi zergatik den hain garrantzitsua zenbaki hau, hona hemen bere agerpenen zerrenda txiki bat:

• Geometrian: zirkuluaren perimetro eta azaleran, gorputz biribilen azalera eta bolumenetan (zilindroan, konoan, esferan)...
• Kalkuluan: astroide, zikloide, kardioide eta Arkimedesen espiralak sortzen duten azalera zatietan.
• Analisian: serie infinituetan, Gauss kanpaian, Eulerren identitatean, etab.
• Eta baita probabilitatean ere!

Ikaragarria ezta? Eta zenbaezinak dira ere zenbaki honi buruzko kuriositateak, haren lehen zifrak gogora ekartzeko asmatu diren tramankulu eta tresnak bezala: abestien letrak, zifren koloreak, musika zifrekin... zuk zeuk azter dezakezu mundu miragarri hau zure kabuz. Akira Haraguchi injeniari japoniarra gai izan zen 2006. urtean pi zenbakiaren lehen 100 000 zifrak buruz esateko, 20 ordu inguru behar izan zituelarik!!!

Eskerrik asko Tony Crilly, Marcus du Satoy, Lolita Brain.

Kolore adina zenbaki

Zenbat zenbaki mota ezagutzen dituzu? Historian zehar, beharren arabera, gizakiak zenbaki multzo ezberdinak aurkitu ditu:

Zenbaki arruntak

 

Haur txikiak garenean zenbaki arruntak dira ikasten ditugun lehendabizikoak, kantitateak adierazteko aukera ematen digutenak: 1, 2, 3, 4... Hauek izan ziren, hain zuzen ere, historian zehar lehenengo aldiz erabili ziren zenbakiak, gizakiak bere ingurunearekin harremanetan jartzeko beharretik abiatuta: artaldean zegoen ardi kopurua zenbatzeko, adibidez. Zenbatzeko harriak, makiltxoak, behatzak edota hezurretan egindako markak (K.a. 20000. urte inguruko Ishango-ko hezurrean bezala) egiten zituzten. Hortik datorkigu zenbakien lehen agerpena eta erabilera.

 

La maravillosa historia de los números artikulutik aterata

ko irudia

Zenbaki arrazionalak

Baina nola banatu hiru ogi bi pertsonen artean? Edo nola neurtu patroi baten arabera, kopuru zehatza ez bada? Banaketa proportzionala egiteko edota neurketak egiteko beharra sortu zenean, zenbaki arrazionalak erabiltzeko premia agertu zen (zenbaki arrazionalak bi zenbaki arrunten zatiki eran jarri daitezkeenak dira). Zatikien lehen erabilera idatzia ere egiptoarrei zor diegu. Bizitza arrunteko arazoak konpontzeko sortu ziren: langileei janari eta edariarekin ordaintzen zitzaienez, adibidez 9 ogi puska 10 pertsonei banatzen jakiteko, zatikiak menperatu behar zituzten. Hori bai: soilik zenbakitzailea 1ekoa zuten zatikiak adierazten zituzten.

Antzinako Egipton, nekazal lurraldeen azalerak neurtzeko 1/2 zatikiaren berreturak erabiltzen zituzten, Orus jainkoarekin zerikusia zuen sinbologia berezi baten bitartez: Orus-en begiaren zati bakoitzak zatiki bat adierazten zuen:

 

El ojo de Horus artikulutik ateratako irudia

Ondoren, antzinako greziarrek ere zatikiak erabili izan zituzten, baina oraindik ez zituzten zenbaki bezala onartu, bi zenbakiren arteko proportzio gisa baizik. XV. mendearen bukaerara arte itxoin behar izan zen gaur egun zatikiak adierazteko dugun modua finkatzen hasteko.

Zenbaki negatiboak

Eta, noiz agertu ziren orduan zenbaki negatiboak? Sinestezina badirudi ere, oso berandu onartu ziren zenbakien artean. Zenbaki hauek ez dira objektu kopuruak adierazteko baliogarriak, baina bai erreferentzia baten arabera ordenatzeko: zero azpiko tenperatura adierazteko edota diru-zorrak eta ondasunak adierazteko, esateerako. Lehen aldiz testu txinatar batean agertu ziren: Matematika artearen bederatzi kapituluak (K.a. II - K.o. I). 

 

Blog de apoyo al alumno irudia

 

Dena den, Erdi Aroko matematikari indiarrak (XII. mendeko Brahmagupta eta Bhaskara) izan ziren zenbaki negatiboen arteko eragiketak modu egokian azaldu zituztenak, aurrerago minus ikurra Widmann-ek 1489. urtean lehen aldiz erabili zuen arte. Hala ere, Europako berpizkundean oraindik negatiboak ez ziren onartzen zenbaki bezala (pentsa, XVI. mendean oraindik Michael Stifel alemaniarrak zenbaki zentzugabeak deitzen zituen). Frantziako Albert Girard izan zen ziurrenik XVII. mendetik aurrera zenbaki negatiboak ohiko moduan erabiltzen hasi zena, eta XIX. mendearen hasierara arte ez zen haien aritmetika erabat finkatu (zer berandu!).

Gaur egun ezinbestekoak ditugula badakigu, erreferentzia gisa jokatzen duen elementu batekin konparatu nahi badugu: tenperatura adierazteko, eraikinetako solairuen azpitik daudenak identifikatzeko, diru zorrak adierazteko, etab. Matematikoki, zenbaki arrunt bat eta zenbaki handiago baten arteko kenketa egiteko beharrezkoak suertatzen zaizkigu.

 

Zenbaki irrazionalak

Zenbaki irrazionalei dagokienez, ez dago zalantzarik haien historia bitxia izan zela. Antzinako greziarrak K.a. VI. mendearen inguruan neurri batzuk zatiki moduan adierazi ezin zirela konturatu zirenean agertu ziren.

 

Esaterako, bi zenbakiaren erro karratua aldea unitatea duen karratu baten diagonala ezin zen arrazionala izan (Pitagoras-en teorema aplikatzen baduzue, lortuko duzue zenbaki hau: egin froga!). Bestalde, pi zenbakia, bateko erradioa duen zirkulu baten azalera zein den bilatzen baduzue, aurkituko duzue.

 

Hortik aurrera zenbaki mota berri baten agerpena antzematen hasi zen. Zenbaki irrazionalak bi multzotan banatzen ditugu gaur egun: algebraikoak (ekuazio polinomikoen soluzio direnak: biren erro karratua...) eta transzendenteak (ekuazio polinomikoen soluzio ez direnak: pi, e, phi...). XIX. mendean izan zen Abel, Galois, Hermite eta Liuville zenbaki irrazionalak sakonago ezagutu zituzten garaia.

La guía matemática webgunetik egokitua

Zenbaki konplexuak

Orain arteko guztiak zenbaki errealak dira, baina hauek ez dira nahikoak zenbaki bat bere buruarekin biderkatzean, zenbaki negatibo bat lortu nahi dugunean. Pentsa ezazue: zein zenbaki ber bi eginda emango du - 1? Posible al zenbaki bat bere buruarekin biderkatu ondoren -1 zenbakia lortzea?

 

Hortik suertatzen dira, azkenik, zenbaki konplexuak. XVI. mendeko matematikariak konturatu ziren errotzaile bikoitiko zenbaki negatiboak ezin zirela kalkulatu, eta hortik aurrera, XVII. mendean Leibnitz-ek unitate irudikariaren kontzeptua sartu zuen, gero Eulerrek ikur berezi baten bidez adierazi zuelarik XVIII. mendean:

Hala ere, XIX. mendera arte hurbildu beharra dugu zenbaki konplexuen teoria sakonagoa lortu nahi badugu. Bertan dauzkagu Cauchy, Riemann, Weierstrass, Gauss edo Hamilton bezalako matematikariak, zenbaki konplexuen erabilera finkatu zutenak.

Eta zenbakien nahaste hau guztia berriz ere errepasatu nahi baduzu, Eduardo Saenz de Cabezón matematikariaren ondoko bideoa ikustera gonbidatzen zaitut. Zorte on bidaia zoragarri honetan!

Eskerrik asko: Anne Rooney.