11 ogi bost pertsonen artean banatu nahi baditut

Nor ez da erotu zatikien arteko eragiketak ikasterakoan? Jakin ezazu gaur egun zorte handia daukazula, ez zitzaizulako tokatu Egiptoko zatikiak erabiltzen ikastea. Horiek bai zailak! Ezagutu izan bazenitu, orain gehiago baloratuko zenuke gure zatiki maiteen sinpletasuna. Goazen ikustera ea nondik datorren beraien istorioa.

Harrizko Aroko gizakiek ez zuten zatikirik erabili behar, baina Brontze Aroan maila kultural aurreratuagoa lortu zenez, lehen aldiz agertu zen kontzeptuaren beharra eta zatikien notazioa.

Antzinako Egipto (K.a. 1800 inguru)

Denok argi daukagu nola banatu modu berean 10 ogi 5 pertsonen artean, baina nola egin dezakegu  hamaika ogi bost pertsonen artean banatzeko? Edo nola neurtuko dugu objektu bat patroi baten arabera, kopuru zehatza ez bada? Banaketa proportzionala egiteko edota neurtzeko beharra sortu zirenean, zenbaki arrazionalak erabiltzeko premia sortu zen (gogoratu: arrazionalak, zatiki moduan adierazi daitezkeen zenbakiak dira).

Ogia (cocinatis.com)

 

Zatikien lehen erabilera idatzia egiptoarrei zor diegu. Bizitza arrunteko arazoak konpontzeko sortu ziren: langileei janari eta edariekin ordaintzen zitzaienez, adibidez 7 ogi puska 10 pertsonei banatzen jakiteko, zatikiak menperatu behar zituzten. Hori bai: bakarrik zenbakitzailea 1ekoa zuten zatikiak erabiltzen ziren (zatiki unitarioak). Modu honetan adierazten zituzten:

Zatiki egiptoarrak (soymatematicas.com/fracciones)

Zuk pentsatzeko: nola idatziko zenuke 1/99 zatikia Antzinako Egipton bezala?

Egiptoarrek zatikiekin lan egiteko modu bitxia zuten. Bakarrik zatiki unitarioak erabiltzen zituzten, hau da, zenbakitzailea 1 zutenak, 2/3 zatikia izan ezik. Zatiki hau oso berezia zen, izan ere, kopuru baten herena kalkulatzeko, lehenik 2/3 aplikatu eta gero horren erdia lortzen zuten. Ze korapilatsuak!

Ezin zutenez beste zenbakitzaile bat adierazi, dena zatiki unitarioen bidez adierazten zuten, eta, gainera, zatiki horiek gainera ezin ziren errepikatu:

 Imajinatu ondoko egoera: harategira zoaz, eta saltzaileari 2/5 kilo haragi eskatu beharrean, 1/3+1/15 haragi eskatzen diozu. Zer aurpegi geratuko litzaioke dendariari?    Antzinako Babilonia (K.a.1600 inguru)  Babiloniarren aritmetika eta aljebra nagusiagoak izan ziren, egiptoarrekin konparatuta, baina...zein izan zen haien sekretua? Zenbakien printzipio posizionala (zifra bakoitza, okupatutako posizioaren araberakoa izatea) zatikietan ere erabili zuten, eta hori oso erabaki ona izan zen. Horri esker, gaur egun zati hamartarrekin dugun kalkulu sinpletasun guztia eskura izan zuten.

   Antzinako Grezia
Antzinako greziar notazio-sistemak bere ahulguneak erakusten zituen zatikien tratamenduan. Hasieran, zatiki unitarioak erabiltzen zituzten, egiptoarrek bezala, eta izendatzailearen eskuinaldean azentu bat jarriz irudikatzen zituzten, nahasgarria izan zitekeena, honek azken zifrari edo batzuei eragiten ahal zielako:

Ondorengo mendeetan, ohiko zatikiak eta sexagesimalak (60 oinarrikoak) gehiago erabiltzen hasi ziren. Azken horiek astronomia eta fisikako tresna bihurtu ziren, baina posible da jendeak garai hartan ez erabiltzea. Zatikiak zenbakitzailea izendatzailearen azpian jarriz idazten ziren (gaurkoaren alderantzizkoa), eta egungo banaketa-barra gabe (lerroa). Nolanahi ere, Heronek nahiago izan zuen Egiptoko zati zaharrak erabiltzea; bere ondoren, zatiki unitarioen zaletasun hori oraindik mila urtez luzatu zen Europan, Heronen garaiaren ondoren behintzat.   

Txina (K.o. 100. urte inguru)

Txinatarrek ongi ezagutzen zituzten zatiki arruntekin egindako eragiketak, baita zenbait zatikiren izendatzailearen multiplo komun minimoa aurkitzen ere (ziur aski zuk ere jakingo duzu). Gainera, Txinan zatikiak dezimalizatzeko joera zuten (10en multiplo izendatzailea). Sexu desberdinekiko konparaketak ezartzen zituzten: zenbakitzailea semea zen eta izendatzailea ama. Horrek arauak ikastea errazten zien.

iStock

Europa (Erdi Aroa)
 Historiako ironia nabarmenetako bat hauxe izan zen: zenbakien sistema posizionalak (zifra bakoitzak balio ezberdina daukana posizioaren arabera) bizitza errazten badigu, zergatik kostatu zitzaien hainbeste zatikietan ere aplikatzea? Mila urte igaro behar izan ziren, zifra indiar-arabiarrak barneratu zituztenek, zatikiak ere horrela lantzeko.
Horretan, Fibonaccik (1202ko Liber abaci) beste batzuek adina erru izan zuen, hiru zati-mota erabili zituelako (komunak, unitarioak eta sexagesimalak), baina inoiz ez hamartarrak. Hau eromena!

Fibonaccik oso gustoko zituen Egiptoko zatiki unitarioak; bere lanetan, zatiki komunetatik unitarioetara bihurtzeko zenbait taula daude. Gizajoa Erdi Aroko negozio-gizona, halako sistema erabili behar izateagatik diru-konbertsioetarako!
Zuk pentsatzeko: zatiki unitario hauekin, ba al dakizu zein zatiki adierazten ari garen?

Nolanahi ere, gaur egun bezala zatiketaren lerroa erabili zuen lehen matematikari europarra bera izan zen: Fibonacci.

Eskerrik asko: Carl B. Boyer

Hainbeste istilu koma batengatik!

Ez zenuen inoiz pentsatuko koma sinple batek hain istorio luzea izango zuenik.

Koma (fundeu.do)

Kontaketa honen lehenengo kapitulua irakurtzeko, Indiara bidaiatu behar dugu, K.a 2800. urte ingurura. Indo haranean, aztarka arkeologiko batzuen artean, hamartarrak dituzten pisu batzuk aurkitu ziren (masa zehatza zeukaten metalezko pieza batzuk). Hala ere, komak urte asko itxoin behar izan zuen lehenengo agerpenak izan arte. 

Bere historia ezagutu aurretik, gogoratu zertaz ari garen:

Arabiarrak

Al-Uqlidisi-k (920-980 urteak) zatiki hamartarren erabilerari buruz ezagutzen den lehen testu arabiarra idatzi zuen. Aurrerago, XII. mendean, al-Samaw´al matematikari irandarrak hamartarren erabilerari buruzko trataera sistematikoa egin zuen, zenbaki irrazionalen gutxi gorabeherako balioak emateko (gogoratu: irrazionalak infinitu zifra hamartar ez periodikoak dituzten zenbakiak dira).

Europa

Europara, hamartarrak nahiko berandu iritsi ziren. F. Pellos-ek Italian 1492an argitaratutako liburu bat idatzi zuen; bertan unitateak eta hamarrenak banatzeko koma erabiltzen zuen, baina egindakoa guztiz ongi ulertu gabe. Ondoren, C. Rudolff alemaniarra, 1530eko kontabilitate tratatu batean, lehenengoa izan zen hamartarrak guztiz ulertu zituena, zifrak banatzeko lerro bertikal bat erabili arren.

Lehenengo obra hamartarren inguruan, Simon Stevin izeneko fisikari eta matematikariak idatzi zuen (1585ean). Berari esker hasi ziren Europan erabiltzen ondoko notazioa: zifra bakoitzaren ondoan, zirkuluan inguratuta, zifra bakoitzak hartzen duen posizioa (0 unitatea, 1 hamarrena, 2 ehunena, 3 milarena, etab):

Garai hartan, F. Viète matematikari frantsesak (1540-1603), zatiki hamartarrak idazteko hainbat modu probatu zituen:

Hainbeste saiakera ezertarako! Viète gizajoak ez zen inoiz iritsi gaur egungo metodora. Puntuaren lehenengo agerpena separadore gisa, liburu batean inprimatuta, G. Maginik egin zuen 1592an (kartografo eta astronomo italiarra, Keplerren laguna). Hala ere, benetan hamartarraren zifrak bereizteko puntua ezarri zuena J. Napier ingelesa izan zen, 1619an. Berak, puntua edo koma erabil zitekeela proposatu zuen, beraz nahastea nahikoa ez bazen, Europako herrialde askok azkenean hamartarrak bereizteko puntuaren ordez koma hartu zuten.

Eskerrik asko: Carl B. Boyer

Zenbaki gorrietan nago

Zenbaki negatiboak historian zehar oso berandu agertu ziren, ez daudelako zuzenean lotuta mundu fisikoarekin, izan ere, ezin dugu objektu kopuru negatiborik zenbatu (minus hamabi behi) ezta magnitude fisikoen neurketa negatiborik egin (minus lau metro karratu). Aurrerago, jabetza kontzeptuak sortu zirenean, zenbaki negatiboek esanahia hartu zuten: esaterako,  diru edo ondasunen zor bat adierazteko (minus hamar euro) eta neurketa-eskala batzuetan ere (minus bost gradu zentigradu).

 

Antzinako Txina

 

Arte matematikoari buruzko bederatzi kapituluetan (K.a. II - K.o. I) ikus daitekeenez, badirudi txinatarrei zenbaki negatiboen ideiak ez ziela zailtasun handirik eragin, bi barilla-multzorekin kalkulatzera ohituta zeudelako: gorriak zenbaki positiboentzat eta beltzak negatiboentzat (bai, ongi irakurri duzu, gaur egungo koloreen alderantzikoak).

Atisbos a la historia de las matemáticas blogetik egokituta

 

Hala ere, antzinako txinatarrek ez zuten onartu zenbaki negatibo bat ekuazio baten soluzio izatearen ideia, beraz, urte asko igaro behar izan ziren negatiboak zenbaki gisa guztiz onartzeko.

 

India (Erdi Aroa)

 

Erdi Aroa baino lehen, Antzinako Grezian matematika geometriarekin oso lotuta zegoen, beraz ez zen aukerarik izan zenbaki negatiboekin lan egiteko: posible al da laukizuzen baten luzera edo piramide baten altuera negatiboa izatea? Garai hartan "kantitate negatiboak" beti kenketari lotuta zeuden.   Aurrerago, India-ko matematikarien meritua zenbaki positibo eta negatiboen eragiketen arauak zenbakizkoak bihurtzea izan zen, hau da, modu abstraktuan eta geometriarekin zerikusia izan gabe. Brahmaguptak (628. urtean) zeinuen arauak azaldu zituen; gaur egungo sinboloak erabiliz horrela idatziko zen:

 

Al-Khwarizmi bezalako arabiarrek mota guztietako magnitude absolutu negatiboak alde batera uzten zituzten, baina zenbaki positiboen eta negatiboen arteko eragiketen arauak ezagutzen zituzten. Azken finean, eragiketa horiek egiten zituzten baina guztiz sinestu gabe zenbakiak zirela.  Berpizkundea
N. Chuquet matematikaria (1484ko Triparty obran), ekuazio aljebraiko batean zenbaki negatibo bat modu isolatuan adierazi zuen lehendabiziko matematikaria izan zen. Halako adibidean bezala:

4 x = - 2

Sinboloei dagokienez, hasiera batean p eta m (più eta meno) sinbolo italiarrak erabiltzen ziren, baina J. Widman alemanaren liburu imprimatuaz geroztik (1489), + eta - zeinuak erabili ziren. Biltegietako salgaien soberakina eta gabezia adierazteko erabiltzen ziren, eta gaur egun egiten den bezala, batuketa eta kenketa ere adieraztera pasa ziren.

Aljebraren barruan, M. Stifel (1544ko Arithmetica integra obran), ekuazioetan koefiziente negatiboak erabili zituen, eta horrela lortu zuen sinplifikatzea ekuazio koadratikoen forma guztiak (prozedura hau 3. DBHtik aurrera ikusten da). Dena den, zenbaki negatiboen propietateak ongi ezagutzen zituen arren, arraro egiten da Stifel-ek oraindik ez onartzea zenbaki negatiboak ekuazio baten soluzio bezala, eta zenbaki negatiboei numeri absurdi deitzea ere.

 

Blog Reforma matemática

 

Matematika modernoaren aurrekariak

 

Azkenean, A. Girard (1629ko Invention nouvelle en l'algèbre liburuan) izan zen modu zehatz eta argi batean, zenbaki negatiboak ekuazioen soluzio gisa onartu zituena, eta ekuazioaren koefizienteekin zeukaten erlazioa adierazi zuena. 

 

Hortik aurrera, negatiboek beharrezko protagonismoa hartu zuten zenbakien munduan.

 

Eskerrik asko: Carl B. Boyer

Zero gabe ez gara ezer

Nolakoa litzateke mundua zero zenbakia gabe? Imajina dezakezu?

 

 Zenbakiak ez dira betidanik adierazi gaur egun ezagutzen ditugun bezala, ezta zenbatzeko modua ere. Antzinako Egipton zenbakiak idazkera jeroglifikoan idazten zituzten, zifren posizioa kontutan hartu gabe; horren ondorioz, batzuetan sinbolo asko erabili behar zituzten. Adibidez, 999 zenbakia idazteko (gure kasuan hiru sinbolo), haiek 3·9 = 27 ikur behar zituzten. Gainera, ez zeukaten zeroa adierazteko modurik.

 

Mesopotamia

 

K.a. bigarren milurtekoaren inguruan, hau da, duela 4000 urte inguru, Mesopotamian idazkera kuneiformea erabiltzen zen. Garai hartatik iritsi zaizkigun buztinezko tauletan, zenbakiak makiltxo baten markak ziren (1 marka = 1 zenbakia, 2 marka = 2 zenbakia...). Zifra bakoitzak balio ezberdina zeukan, okupatutako posizioaren arabera, gaur egun bezala (ez da gauza bera 9a unitateen posizioan, hamarrekoetan edo ehunekoetan egotea). Adibidez, 23 zenbakia horrela adierazten zen:

 

 

Hasieran, antzinako babiloniarren garaian (K.a. 1800 urte inguruan), ez zeukaten sinbolorik zeroarentzat. 23, 203 edo 2003 idazteko, marka horien artean hutsuneak uzten zituzten, beraz zenbakiak oso modu berdintsuan idazten ziren, eta batzuetan okertzeko aukera handia zegoen. Bakarrik posible zuten imajinatzea zein zenbaki izango zen testuinguruaren arabera. 

 

Aurrerago, K.a. 300. urtearen inguruan, zenbakien artean bi marka diagonal idazten hasi ziren posizioan zeroa adierazteko, baina bakarrik zifren artean zegoenean. Inoiz ez zuten erabili zenbakiaren bukaeran, beraz, egoeraren arabera errazago edo zailago izango zen zenbakia asmatzea. Adibidez, "7 seme-alaba dauzkat" esaldiak nekez esan nahiko du "70 seme-alaba dauzkat", baina Alejandro Magnoren konkisten garaian, ez da gauza bera esatea "30eko tropa hurbiltzen ari da", "300eko tropa hurbiltzen ari da" edo "30 000ko tropa hurbiltzen ari da". Kasu horretan arriskutsua zen zenbakien artean ez bereiztea!

Antzinako Maiak

Ameriketan, Maien zibilizazioak ere zenbaki sistema propioa erabiltzen zuen, egutegiko denbora tarteak idazteko. Posizioan zero adierazteko sinbolo berezi bat erabiltzen zuten, begi erdi-ireki baten antzekoa. Hauxe da, beraz, zeroaren lehenengo aztarna:

India (Erdi Aroa)

 

Indian eman zen alderdi honetan aurrerapausorik handiena. Haiek hasi ziren erabiltzen gaur egungo posizioaren araberako sistema hamartarra. Zifra bakoitzak balio desberdina zeukan posizioaren arabera, babiloniarrak bezala, baina hemen 10naka zenbatzen zen (babiloniarrak 60naka). Orduan, nola adierazi posizio hutsa, zenbakirik gabeko posizioa? Indian hutsunea adierazteko zenbaki berri bat azaldu zen.

Zero zenbakiaren agerpena oso garrantzitsua izan zen, goitik behera aldatu zuelako matematika egiteko modua. Zeroari esker, ondorengo matematikaren aurrerapen moderno guztiak egin ahal izan ziren; bakarrik hamar zifra erabiliz (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9), nahi adina zenbaki handiak sor ditzakegu. Gwalior gotorlekuaren tenplu txiki batean agertzen da lehen aldiz, IX. mendean.

 

www.nuevoperiodico.com

K.o. 628. urtean, Brahmagupta izeneko matematikari eta astronomoa, lehenengoa izan zen zenbaki negatiboen eta zeroaren eragiketak azaldu eta normalizatu zituena: 

 

a + 0 = a

a - 0 = a

a · 0 = 0

a / 0 (zatiketa honi buruz ez zuen ezer esan)

0 / 0 = 0 (kontuz, zatiketa hau gaizki kalkulatu zuen!)

 

Brahmaguptak ezin izan zuen zatiketa azaldu, eta gainera 0 / 0 = 0 zela esan zuenean guztiz okertu zen. Itxoin behar izan ziren 500 urte inguru, Bhaskara matematikariak eragiketa hau hobe azaltzeko. Zatitzen dugun zenbakia zero ez bada, zenbat eta handiagoa izan zatitzailea, orduan eta txikiagoa izango da emaitza:

Segida hau jarraituz, Bhaskarak ondorio hau lortu zuen: zatitzailea zerora hurbiltzerakoan, zatidura infinitora doa. Hortaz, a/0 infinito zela esan zuen. Dena den, zeroa zatiketan sartzen denean, beti ematen dizkigu arazoak, eta Bhaskara ere okertu zen 0/0 egiterakoan. Beraz, hemendik aurrera, kontuz eragiketa madarikatu honekin!

Europa (Erdi Aroa)

Fibonacci matematikari italiarra izan zen 1202-ko Liber Abaci obraren bitartez, 0tik 9rako zifra hindu-arabiarrak Europan sartu zituena, eta orduz geroztik iritsi zaizkigu gurera. Fibonacci-k egindako zenbaki hauen agerpena funtsezkoa izan zen, nahiz eta bere momentuan ez lortu espero zen ospea, aurrerago hamar zifra horiek definitiboak izango ziren.

Gaur egun

Nolanahi ere, zeroa matematiken ekarpen nagusienetako bat da, zalantzarik gabe. Zenbaki errealen zuzenean, zeroak zenbaki positiboak eta negatiboak banatzen ditu; sistema hamartarrean, zenbakiak nahi adina handiak izateko aukera ematen digu... Matematikek ezingo zuten funtzionatu zeroa gabe, zenbaki sistema, aljebra edota geometriaren muinean dagoenez, bera gabe ezingo ziren ongi ulertu. 

 

Zero zenbaki boteretsuaren inguruan gehiago jakin nahi baduzu, Eduardo Saenz de Cabezón matematikariaren bideoa hasieratik bukaerara ikustera gonbidatzen zaitut:

Eskerrik asko: Anne Rooney, Carl B. Boyer,  Marcus du Satoy.