Euklidesen "Elementuak": geometriako bilduma elkarlanean

Euklides (K.a.325-265 inguru), Egiptoko Alexandria hirian bizi izan zen matematikari greziarra izan zen. Bere lorpenik handiena matematikako libururik ospetsuena idaztea izan zen: Elementuak izenekoa, geometriari buruzkoa. Bi mila urte baino gehiagotan zehar erabili izan da! Nola da posible duela 2000 urte baino gehiago aurkitutako ezagutzek gaur egun ere balio izatea? Hurrengo lerroetan aurkituko duzu erantzuna.

K.a. 300. urtearen inguruan Euklidesek ordura arteko geometriari buruzko ezagutza guztia biltzea erabaki zuen. Beraz, bere liburuko aurkikuntzak ez dira denak bereak! Hain zuzen ere kontrakoa: garai hartako matematikari greziarren ezagutzak agertzen dira bertan.

Elementuen bertsio zaharrenaren lehen orria

Liburuak geometria laua, zenbakien teoria, algebra eta geometria solidoari buruz hitz egiten duen arren, atalik aipagarriena geometria lauari dagokiona da. Bertan, teoria guztia soilik oinarrizko bost axiometatik abiatuz garatzen du (axiomak frogatu gabeko baina agerian geratzen diren oinarrizko esaldiak dira), eta horri esker izan da bere obra hainbeste urtetan zehar onartua:

1. Edozein bi puntu zuzen bakar baten bitartez lotu daitezke.
2. Edozein zuzenki, zuzen batera luza daiteke.
3. Zirkulu bat edozein zentru eta edozein erradiorekin marraztu daiteke.
4. Angelu zuzen guztiak berdinak dira haien artean.
5. Puntu bat eta zuzen bat izanik, puntu horretatik igarotzen den eta zuzenarekiko paraleloa den zuzen bakar bat marraztu daiteke.

Beno ba, harrigarria badirudi ere, axioma hauek bi mila urtetan zehar izan direnez baliogarriak, Euklidesen gainontzeko demostrazioak ere izan dira onargarriak haiekin batera. Baina... noiz arte? XIX. mendean beste matematikari batzuek 5. axioma horren kontrakoa frogatu zuten arte. Hortaz, ordura artekoari geometria euklidearra deitu zitzaion, eta bertan agertutako berriei geometria ez euklidearrak (esaterako, geometria esferikoa edo hiperbolikoa).

Eta nola aurkitu izan da liburua? Zoritxarrez, Euklidesek papiroetan idatziko zuen bere obra, eta dakigunez, hauek oso hauskorrak dira. Nahiz eta papiro original haietako batzuk oraindik mantendu (hiri zahar bateko zaborretan aurkitua, pentsa!), bere obra osoa K.o. IX. mendeko itzulpen baten bitartez iritsi zaigu.

Oxirrinco-ko papiro originala

Eskerrik asko: Anne Rooney, Clifford A. Pickover. Hemen aurkeztutako informazioa laburpen bat besterik ez da. Gehiago jakin nahi baduzu, joan zaitez orri honetara.

Tirabirak ekuazioen soluzioak aurkitzeagatik

Bigarren mailako ekuazio polinomikoen ebazpena antzinatik ezagutzen dela badakigu, eta gainera eskolan erakusten den ebazpen ospetsuenetako bat da. Baina zer dakigu 3. maila eta goragoko ekuazioen inguruan? Abentura honetan Berpizkundeko bi italiar aurkitzen ditugu: Niccolò Fontana (Tartaglia ezizenarekin ezaguna, haren toteltasuna zela eta) eta Girolamo Cardano, biak XVI. mendekoak. Haien izan ziren matematikarien arteko borroka ezagunenetako baten protagonistak, ondorengo lerroetan jabetuko zaren bezala.

1545. urtea erabakigarria bihurtu zen algebraren munduan, orduan argitaratu baitzituen Cardanok 3. eta 4. mailako ekuazio polinomikoen soluzioak bere Ars Magna izeneko liburuan. Baina.... berak ez zuen bat ere lortu!!! 3. mailako ekuazioak ebazteko formula aurretik Tartagliak lortu zuen, baina badirudi Cardanori kontatu ziola honek gero argitaratuko ez zuela konpromezua hartuz. A ze konpromezua! Orduz geroztik bien arteko liskarra eta haserrea galanta izan zen. Eta 4. mailako ekuazioen ebazpena ere Ludovico Ferrari bere idazkariak aurkitu zuen. Harrigarria!

Zergatik orduan egin zuen hau Cardanok? Bera eta bere idazkariari, haien aldetik 4. mailako ekuazioekin lanean zeudelarik, oso aproposa iruditu zitzaien Tartagliak bere soluzioa ematea haien lanarekin aurrerapen handiagoak egin ahal izateko. Dena den, jarri ahalko zenituzke zure izenpean beste norbaitek lortutako aurkikuntzak? Batak ala besteak, 3. eta 4. mailako ekuazioak ebazteko formulak aurkitu egin zituzten, erabiltzeko errazegiak ez baziren ere (horrexegatik ez ditugu ipiniko hemen; zuk zeuk ikertu nahi baduzu, animatzen zaitut).

Niels Abel

Eta zer gertatzen zen 5. maila edo goragoko ekuazio orokorrekin? XVI. mendetik aurrera matematikariak jo ta ke ibili ziren ebazpen horren bila, baina ez zen izan 1824. urtera arte Niels Abel gazteak (soilik 19 urterekin) emaitza lortu zuenean. Eta hara non ustekabea: ez zegoen formularik!!! Abel-ek demostratu zuen ez zela posible topatzea 5. maila edo goragoko ekuazio orokorrak ebazteko formula algebraikorik.

Espero al zenuen hau? Garaiko matematikariek ez, eta horrexegatik haietako batzuek oraindik jarraitu zuten XIX. mendean zehar soluzio desiratuaren bila.

Eskerrik asko: Carl B. Boyer, Tony Crilly,

Soilik bost poliedro erregular?

Bi kontzeptu argi izan behar ditugu hasieratik:

• Poliedroa: aurpegi gisa poligonoak dituen hiru dimentsioko irudi mugatua da. 
• Poliedro erregularra: aurpegi guztiak berdinak eta erregularrak dituen poliedroa da (aldeberdinak eta angeluberdinak). Horretaz gain, poliedro erregular baten erpin guztietan aurpegi kopuru berdina elkartzen da.

Jakinda zer den poliedro erregular bat, osotara, zenbat poliedro erregular existituko direla uste duzu? Hasiera batean kopuru handi bat datorkigu burura, baina soilik bost existitzen dira! Nola da posible hau?

K.a. IV. mendeko Atenas-ko Teeteto izan omen zen bost solido platoniko hauen deskribapen osoa eman zuen lehendabiziko matematikaria. Solido platonikoak? Zergatik orain Platonen izena? Ez al ziren izan beharko Teetetoren solidoak? Batzuetan historia bidegabekoa da, eta kasu honetan Platonek ez zituen poliedro horiek aurkitu; berak soilik ospetsu bihurtu zituen unibertsoarekin zerikusia zuen teoriaren bitartez.

Platonen ustez, K.a. 350. urtearen inguruan idatzitako bere Timeo obran, geometria unibertsoa ulertzeko gakoa zela zioen. Obra horretan unibertso osoa bost poliedro erregularren bidez adierazia zegoela zioen: tetraedroa sua (agian bere ertzen itxura zorrotzaren erruz), kuboa lurra (bere itxura egonkorragatik), oktaedroa airea, dodekaedroa unibertsoa (bere ustetan Jainkoak hala antolatu zituelako zeruko konstelazioak) eta ikosaedroa ura (ziurrenik bere itxura borobilagoagatik, ez hain zorrotza).

Halere, Euklides (Alexandria, IV-III. mendeak) matematikariari zor diogu existentzia mugatu honen lehen demostrazioa bere Elementuak obran. Ongi ulertu nahi baduzu, arretaz irakurri beharko duzu:

1. Erpin bakoitzak hiru aurpegi elkartu beharko ditu gutxienez (batekin ezin dugu poliedro bat osatu, eta bi aurpegi elkartuz ertz bat izango dugu, eta ez erpin bat).
2. Erpin batetik poliedro bat osatu ahal izateko, angeluen batuera 360 gradu baino txikiagoa izan beharko da, bestela plano bat osatuko genukeelako.
3. Beraz, gutxienez hiru angelu egon behar direnez, angelu bakoitzak 360/3 = 120 gradu baino gutxiago neurtu beharko du.
4. Aurreko baldintza betetzeko erabili ditzakegun poligonoak (aurpegiak) gehienez 5 aldekoak izan beharko dira, 6 aldeko poligono batek dagoeneko 120 graduak osatzen dituelako aldeen artean.
5. Ondorioz, soilik bost kasu egongo dira:

• Aurpegi triangeluarrak: 60 gradu dituztenez, soilik 3, 4 edo 5 triangelu elkartu ahalko dira erpin batean, tetraedroa, oktaedroa eta ikosaedroa osatuz, hurrenez hurren. 6 edo gehiago izanik, 360 gradu edo gehiago izango ditugu.
•  Aurpegi karratuak: 90 gradu dituztenez, soilik 3 karratu elkartu daitezke, 4rekin 360ra iristen garelako. Hortaz, kuboa da aukera bakarra.
• Aurpegi pentagonalak: 108 gradu dituztenez, soilik 3 pentagono elkartu ahalko ditugu 360 graduak ez gainditzeko. Beraz, dodekaedroa da aukera bakarra.

Azkenik, Leonhard Euler izeneko matematikari eta fisikari suitzar emankorra aurki dezakegu ildo honetatik. Lehenik eta behin, poliedro ganbil baten baldintza zein den argitu behar dugu: barne erpinak elkartzen dituzten zuzenki guztiak, poliedroaren barruan gelditzen dira. Berak, 1751. urtean, edozein poliedro ganbilen elementuak erlazionatzen dituen formula ezagun bat demostratu zuen:

            Aurpegiak + Erpinak = Ertzak + 2

Ondoko taula behatzen baduzu, aurreko Eulerren formula solido platonikoetan egiaztatu egiten dela:

Eskerrik asko: Clifford A. Pickover, Carlos Quesada, Mickaël Launay