Fermat matematikazale zirikatzailea

Aski ezaguna dugu denok Pitagorasen teorema, zeinaren arabera edozein triangelu zuzenetan, hipotenusaren karratua bi katetoen karratuen arteko baturaren berdina da. Aljebraren bidez adierazten badugu aho-korapilo hau, triangeluaren aldeen luzerak a, b eta c hizkiekin adierazita honelaxe geratzen da:

Pitagoras-en teoremaren demostrazioetako bat

 

Jakin badakigu soluzio oso desberdinak badaudela (hamartarrik gabekoak), goiko marrazkian ikus dezakegun bezala (9 + 16 = 25 betetzen baita), eta ez da zaila pentsatzea berretzaileak igotzen baldin bagoaz, gauza bera gertatuko dela. Esaterako, berretzailea 3 bada, hau da, karratuen ordez kuboetan pentsatzen badugu, erraza da soluzioen bila jartzea, baina hara non sorpresa: berretzailea 2 baino handiagoa bada, ez dago soluzio osorik!

Dirudienez, Pierre Fermat matematikazale frantsesak ohartarazi zigun lehendabiziko aldiz bitxikeria honetaz (nire ikasleen artean frantsesa ikasten ari diren horiei bereziki eskainia):

Zergatik deitu diot gizon honi matematikazale zirikatzailea? Soilik soluzio osoak baimentzen dituzten ekuazioei diofantiko deitzen diegu, Diofanto izan baitzen haiek aztertzen lehendabizikoa antzinako Grezian. Fermat Diofantoren Aritmetica liburua irakurtzen ari zela, marjinean ondokoa idatzi zuen: 

"Ezinezkoa da karratua baino handiagoko edozein berretura, mota bereko beste bi berreturen arteko baturaren bidez lortzea. Demostrazio zoragarri bat lortu dut, baina liburu honen marjina txikiegia da hura idazteko".

Eta horrelaxe, patxada horrekin, Fermat 1665. urtean hil zen eta jendeak ezin izan zuen jakin esaldi hura egia zen ala ez. Fermat-en Azken Teoremaren baieztapen horrek kezkaz beterik izan ditu ia 400 urtetan zehar mundu osoko matematikariak:

• 1753.ean Eulerrek n=3 kasua demostratu zuen.
• 1825.ean Legendre eta Dirichlet-ek independienteki n=5 kasua demostratu zuten.
• 1839.ean Lamé-k n=7 kasua demostratu zuen.
• Urteetan zehar n kasu guztien demostrazio okerrak izan ziren.
• 1995. urtean Andrew Wiles matematikariak benetako demostrazioa argitaratu zuen (bi urte lehenago aurkeztu zuen baina ez zen erabat egokia, eta konponketa batzuen ostean, lortu zuen behin betikoa). Zortzi urtetan zehar isilpean eta ezkutuan egin omen zuen lan hura lortzeko! Gure ikasketetan ere irmotasun hori edukiko bagenu...

Informazio gehiago ondoko bideoan:

Eskerrik asko: Malena Martín , Anne Rooney, Tony Crilly, Claudi Alsina.

Zenbaki irudikariak. Izenak esaten du dena

1 zenbakiaren erro karratua 1 da, baina zenbat da -1 zenbakiaren erro karratua? Zein da ber bi eginez -1 aterako den zenbakia? Ikasi dugun bezala, ber bi eginez zenbaki guztiak positibo egiten dira. Orduan, nola konpondu egoera hau?

Zenbaki negatiboen erro karratuekin Cardanok egin zuen topo lehendabiziko aldiz 1545.ean, bere Ars Magna liburuan  3. eta 4. mailako ekuazioen ebazpena azaltzen ari zenean: "banatu 10 bi zatitan, haien arteko biderkadurak 40 emango duelarik". Berak ez zituen oraindik zenbaki gisa onartu, baina behintzat zioen "oinaze handirik gabe, bi soluzioen arteko biderkadurak 40 ematen duela ikus dezakegu"  $$x·\left( 10-x \right) =40\\ \\ { x }_{ 1 }=5+\sqrt { -15 } \\ { x }_{ 2 }=5-\sqrt { -15 } \\ \\ \left( 5+\sqrt { -15 }  \right) \left( 5-\sqrt { -15 }  \right) =25-\left( -15 \right) =40$$ 

 

Urteetan zehar matematikariek ezin zuten konpondu egoera hau, 1572.ean Rafael Bombelli ingeniari italiarrak  -1en erro karratua zenbaki gisa kontutan hartu zuen arte. Matematikari askok ez zituzten erabat onartu; are gehiago, Descartesek mespretxuarekin deitu zien zenbaki irudikariak. 1777. urtean Eulerrek i zenbakiarekin izendatu zuen  irudikari hitzaren lehendabiziko hizkia hartuz:

i zenbakia

 

Baina zenbaki gisa onartu ondoren, nola kokatu zuzen errealean? 1673.ean John Wallis-ek zenbaki konplexu bakoitzari planoko puntu bat egokitu zion: ardatz batean zati erreala eta beste ardatzean zati irudikaria. Ondoren 1806an Jean Robert Argand matematikari suitzarrak horrelaxe adierazi zituen:

Plano konplexua

 

W.R. Hamilton-ek, aldiz, ez zuen beharrezkoa izan i erabiltzea, nahikoa baitzen (a,b) pare ordenatuarekin. Modu batean ala bestean, benetan ikusgarriak diren irudi geometrikoak sor daitezke zenbaki konplexuak erabiliz. Esaterako, 1980. urtean Mandelbrot-ek beheko irudia azaldu zuen, formula sinple batean zenbaki konplexuak ordezkatuz; ondoko bideoan ikus daiteke nola sortu irudi zoragarri hau GeoGebra softwarea erabiliz: $${ z }_{ n+1 }={ z }_{ n }^{ 2 }+c$$

Mandelbrot-en multzoa

 

Arraroa badirudi ere, gaur egungo aurrerakuntza asko ez ziren izango posible zenbaki irudikariak gabe: korronte alternoa, erlatibitatearen teoria, seinale prozesaketa edo fluidoen mekanikan, beste batzuen artean.

Eskerrik asko: Tony Crilly, Ian Stewart, Clifford A. Pickover. Informazio gehiago aurki dezakezu Rafael Andres Alemañ http://es.slideshare.net/raalbeautor/numeros-complejos ikertzailearen diapositibetan.