Nola bihurtuko zenuke zirkulu bat karratu?

Grezia klasikoan proposatu zituzten, baina historia osoko matematikarien buruhauste bihurtu ziren. 2200 urte geroago demostratu zen ezinezkoak zirela, baldintza honen pean ebatzi behar baitziren: soilik konpasa eta erregela erabili ahal izatea.

• Angeluaren trisekzioa; galdera ondokoa da: posiblea da edozein angelu hiru angelu berdinetan zatitzea? Argi dago pi angelua (180 gradu) erraza dela, 60 gradu direlako eta hexagonoaren bitartez lor daitekeelako, esaterako. Ez dakigu ziur nondik datorren buruketa; posible da gaueko ordua jakiteko izarren arteko angeluak neurtzeko beharretik etortzea...

• Zirkuluaren koadratura: nori bururatu dakioke zirkulu bat karratu bihurtzea?! Eroak al daude matematikari hauek?! Badirudi ezetz. Gainera saiakera hau oso istorio bitxiari lotuta doakio. Anaxagoras (K.a. V. mendea) filosofo grekoa kartzelatuta izan zen Eguzkia haitz gori handi bat besterik ez zela esan zuenean. Kartzelan zegoelarik, honekin entretenitu egiten zen: edozein zirkulu izanik, azalera erabat berdina duen karratu bat marraztu, soilik erregela eta konpasa erabiliz.

• Kuboaren bikoizketa: buruketa hau Atenaseko epidemia gogor batean zehar agertu zen, K.a. 430ean. Herritarrek Deloseko orakuluari galdetu zioten nola zen posible epidemia amaitzea, eta honek Apolo jainkoak bere aldarearen tamaina bikoiztea eskatu zuela esan zuen. Espero zen bezala, bolumena bikoizteko kuboaren neurriak bikoiztu zituzten, baina honek ez zuen bolumena bikoiztu, zortzi bider egin baizik!!! Ertz bakoitza x2 eginez gero, hiru ertzek osotara x2x2x2 = 2ber3 egingo zuten. Platonen arabera, orakuluak herritarrak lotsarazi nahi omen zituen matematika eta geometriaren ezagutza alde batera utzita izateagatik. Guri ez dakigun gauza bera gertatu...

Eskerrik asko: Anne Rooney.

Formulak marrazki bihurtzen direnean

Frantzian XVII. mendean nabarmentzeko moduko bi matematikari aurkitzen ditugu: Fermat eta Descartes.

Apolonio grekoaren koniken liburua aztertu bitartean, Fermat leku geometrikoak lantzen zebilen, hau da, planoan edo espazioan baldintza geometriko zehatz batzuk betetzen dituzten puntu guztiek sortzen dituzten irudiak. Fermat ondokoaz ohartu zen: puntuei ezarritako baldintzak bi ezezaguneko ekuazio bakar baten bidez adierazi bazitezkeen, leku geometrikoa kurba bat izango zen. Hau egin eta gero, ekuazioen adibide batzuk landu zituen, zer nolako kurba sortzen zuten aztertzeko. Labur esanda, Fermat ardatzak eta koordenatuak barneratzen ari zen.

 

Hala eta guztiz ere, koordenatuen adierazpen modernoa Descartesen filosofo eta matematikariaren eskutik etorri zen. Alfabetoaren hasierako hizkiak (a, b, c) kantitate ezagunak izendatzeko erabili zituen eta bukaerako hizkiak (x, y, z) kantitate ezezagunak adierazteko. Gaur egungo berretura eta eragiketen adierazpen berdina erabili zuen, berdin ikurrarena izan ezik.

Descartesen aurrerapausoa Geometria eta Algebra bateratzea izan zen. Kurbak ez ziren jada geometrikoki eraikitako objektuak, algebraikoki definitu ahal ziren objektuak baizik. Hortaz, planoan puntu bat definitzeko bi zenbaki behar ditugu eta ekuazioak kurba bat definitzen du; espazioan, aldiz, hiru koordenatu behar ditugu eta ekuazioak gainazal bat eraikiko du. Honek edozein dimentsiotako objetuak definitzeko aukera eman zuen, algebrarekin nahikoa baitzen. Inoiz bururatu al zaizu ekuazio batean ezezagunei balioak emanez irudiak sortuko zirela? Zuk zeuk froga dezakezu Geogebraren bitartez, deskargatu eta irudi bitxiak lortuko dituzu. Saia zaitez ondokoarekin, ea ze irudi ateratzen zaizun:

$${ ({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-1 })^{ 3 }-{ x }^{ 2 }{ y }^{ 3 }=0$$

Descartesek koordenatu kartesiarren sistema burutu zuen, baina balio negatiboak adierazi gabe eta angelu zeiharrak erabiliz ardatzen artean (gaur egungoa, zenbaki positibo zein negatiboekin, eta ardatz perpendikularrekin Newtonek erabilil zuen XVII-XVIII. mendean). Ondorengo matematikariek beste koordenatu mota batzuk proposatu zituzten kurba zailagoak adierazteko: koordenatu polarrak, koordenatu esferikoak...

Azkenik, koordenatuek bidea ireki zuten funtzioak grafikoki adierazteko balio bikote hauei esker (x-en balio bakoitzarentzat, f(x) kalkulatu eta balio bikotea ardatzetan irudikatzea besterik ez zen).

Eskerrik asko: Anne Rooney.

Erahilketa erro karratu batengatik

Atenasko eskola

Hipasoren heriotza

Erro karratuak, ikasleei buruhauste gehien sortarazten dizkien kontzeptu matematiko madarikatua. Gezurra badirudi ere, lehendabiziko agerpen isilak duela 2600 urte inguru hasi ziren!

K.a. V. mendeko Grezia klasikoan, Eskola pitagorikoa astronomo, musikari, matematikari eta filosofoen erakunde mistiko bat zen. Pitagorikoek, unibertso osoa zenbaki arrunt eta zatikien bidez azaldu zitekeela uste zuten; gaur egun badakigu arruntak eta arrazionalak ez direla zenbaki mota bakarrak, baina orduko ezagutzan ez zegoen beste zenbaki mota batentzako lekurik.  

Metapontoko Hipaso delakoak (K.a. 500. urtearen inguruan jaioa), aldiz, unitate bateko aldea zuen karratuaren diagonala neurtu nahian zebilenean, zenbaki bitxi eta neurtezin batekin topo egin zuen: bi-ren erro karratua, hain zuzen. Pitagorasen teorema aplikatuz, saia zaitez lortzen aldea 1 duen karratu baten diagonala, ea zer ateratzen zaizun. 

Hipasok ez zituen gure gaur egungo idazkera eta prozedura erabiliko, baina argi dago zatiki eran adierazi ezin zen zenbaki berri bat aurkitu zuela, hau da, zenbaki irrazional bat: bi-ren erro karratua. Eta gainera Pitagorasen teorema erabiliz!  

Hau kontraesana!!! Legendak dioenez, Hipasok bere aurkikuntza itsasontzi batean zihoaztenean kontatu zuen, eta ideia hura zabaltzerakoan, uretara bota egin zuten, itota hil zelarik. Aurkikuntza ikaragarria onartu ordez, talde misteriotsu honetako parteideak, norbait haiekin kontraesanetan jartzea eta haien ideiak apurtzearen beldur ziren.

Kontraesankorra badirudi ere, pitagorikoen aurka zihoan emaitza bat Pitagorasen teoremaren bidez lortu zen; eta ez zen hura izan bitxikeria bakarra! Haien sektaren sinboloa pentagrama edo pentagono izartua zen, eta bertan ere aurkitzen zen beste zenbaki irrazional bat: urrezko zenbakia hain zuzen, blog honetako beste mezu batean sakonago azalduta topatuko duzuna. Pentagonoaren diagonala eta bere alde baten arteko zatiketa eginez lortzen da, edozein pentagono erregularretan! Saiatu zu zeu hemen klik eginez.

Eskerrik asko: Anne Rooney, IES Pravia.

Kalkulatzea harriekin jolastea da

Uste baino jatorri interesgarriagoa dute zientzia honen kontzeptuek. Hona hemen batzuk:

• Matematika: grekeratik dator eta "ikasten diren gauzak" esan nahi du. Pitagorikoek dagoeneko kontzeptua ezagutu eta erabiltzen zuten K.a. VI. mendean.

• Kalkulua: latineko calculus hitzetik dator eta "harria" esan nahi du. Zergatik harria? Lehendabiziko kalkuluak historian, grekoek eta txinatarrek abako izeneko tramankulu batzuekin egiten zituzten, eta bertan harriak ziren oinarrizko piezak. Noizbait entzun duzu giltzurruneko kalkuluak dituen kasuren bat? Harriak gorputz barruan!
  

• Zero: Indian jaio zen oinarrizko zenbaki hau, hortaz bertako sanskrito hizkuntzaren shunya hitzetik, arabieraren sifr eta ondoren latinaren zephirum hitzetik dator. Lehenengo aldiz Gwalior izeneko tenpluan zizelkatua ikus dezakegu, ondoren Brahmaguptak dokumentu batean adierazi eta erabili zuelarik lehen aldiz.

• Algebra: Al-Khwarizmi (VII. mendea) izeneko matematikari arabiarraren tratadu baten izenburuan du jatorria hitz ospetsu honek. Al-kitab al-jabr w'al muqabalah izena du liburuak: al-jabr ekuazioen transposizioa adierazten duen hitza da, eta al-muqabalah transposatutako gaien laburketa. Gaur egun ekuazio polinomikoak ebazteko oraindik erabiltzen den teknika bat da.

• Geometria: grekotik dator, baina haren benetako jatorria Egipton aurkitzen dugu. Geo lurra da eta metria neurketa. Matematikaren adar hau lurra neurtzeko erabiltzen zen haren jatorrian, Nilo ibaiak gainezka egiten baitzuen urtero, eta horrezkero berriz lurrak neurtu behar ziren zergak proportzionalki ordaintzeko.

Zure hilarrian asmakizun matematiko bat jarriko zenuke?

Matematikariek oso gogor ekin zioten lanari bizitzan zehar, eta horren adierazle aurkitzen ditugu haien bizitzaren amaieran ere epitafio bitxi batzuk haien hilobietan. Bi aipatuko ditugu, lehendabizikoa Arkimedes-ena (Siracusa, gaur egungo Sizilian, K.a. III. mendekoa), garrantzi handiko pertsonaia matematikan, fisikan nahiz astronomian. Gorputz geometrikoen azalerak eta bolumenak sakonki aztertu zituen, eta horren adierazle dugu haren epitafioa, harro baitzegoen berak demostratutako aurkikuntzaz: esferaren bolumena, zirkunskribatutako zilindroaren bolumenaren 2/3 dela.

Arkimedes Sirakusakoa. Esfera eta zilindroa

Diofanto Alexandriakoa

 

Grezia klasikoan jarraituz, Diofanto (Alexandria, K.o. III. mendekoa) dugu algebrari bultzada berri bat eman zion matematikaria. Bere epitafioan haren adina asmatzeko aukera ematen digun buruketa bat aurkitzen dugu, 1. mailako ekuazio erraz baten bidez ebatzi daitekeena:

«Hemen du Diofantok hilobia, bertan bere bizitzaren aroak azaltzen direlarik: haurtzaroan bizialdiaren seirena eman zuen; hortik aurrera, bizarra masailak betetzen hasi zitzaion arte hamabirena; geroztik, zazpirena ezkondu arte; ezkondu eta bost urtera bere semea jaio zen; gero, aitaren adinaren erdira heldu zenean, semea hil egin zen ustekabean, lau udaz egin zion negar aitak. Hortik, beraz, bere adina asma dezakezu»

Ea zuk zeuk asmatzen duzun zein adinarekin hil zen Diofanto... aurreko ekuazioa ebaztea besterik ez duzu.

Aipatuko dugun azkena Van Ceulen izango da, 1610. urtean pi zenbakiaren lehen 35 zifra hamartarrak kalkulatu zituena. Hain harro zegoen bere lorpenaz, bere hilarrian idatz zitzatela agindu baitzuen (Leiden-eko San Pedro elizan dugu, Holandan).

Historian zehar matematikari gehiago egon zen nahi honekin, ea aurkitzen duzun zuk kuriositate gehiago honi buruz...

x hizkia baino lehen, "gauza gehi gauza bi gauza" ziren

Batez ere XV. mendetik aurrera idazkera matematikoa izugarri aurreratu zen, eta horregatik ez balitz, ziurrenik ekuazioen ebazpena (eta orokorrean matematikaren garapena) ez litzateke izango gaur egungoa. Garaiko teoria garrantzitsu asko bertan behera geratu ziren notazio ulergarri eta erraz bat erabiltzen ez zutelako. Imajina dezakezu algebran x ordez, egipziarren aha (mordoa) edo arabiarren gauza erabiliko bagenitu?

Zatikietan, zenbakitzaile eta izendatzailearen arteko lerroa Leonardo Pisako "Fibonaccik" asmatu zuen 1228. urtean, adierazpen horiei numerus ruptus deitzen zielarik.

Eskolan hainbeste biderkadura egin ondoren, institutua hasten dugunean izugarri kostatzen zaigu biderketa puntu soil batekin adieraztea, baina a ze nahastea izango litzateke aljebran biderkatzea, x bai biderketa baita ezezaguna adierazteko erabiliko bagenu! Biderkatzeko puntua J.M. Regiomontano-ri zor diogu, 1464.ean.

Batuketa eta kenketari dagokioenez ere, ez dira beti berdin adierazi. Italian più eta meno hitzen laburdurak erabiltzen zituzten gehiago (p) edo gutxiago (m) adierazteko. Erabilitako lehen ikurrak + eta - izan ziren. Hasieran gehiegikeria eta eskasia adierazteko besterik ez ziren erabiltzen, baina geroago matematikako operadore bezala erabiltzen hasi ziren. J. Widmann matematikari alemaniarraren liburu batean agertu ziren lehendabiziko aldiz 1489. urtean.

Erro karratuaren ikurra 1525.ean agertu zen lehen aldiz, Rudolff alemaniarraren eskutik. Ikurra r hizkiaren luzapen itxuroso bat besterik ez da, latineraz erroa radix esaten zen eta.

Berdin ikurra 1557.ean agertu zen Robert Recorde ingelesari esker; bere liburuan "honen berdina da" hitzak etengabe errepikatu ordez, ikur hau erabiltzea otu zitzaion, ez baitzegoen luzera bereko bi zuzen paralelo baino ezer berdinagorik (kuriosoa, ezta?).  

Baina idazkera matematikoaren munduan izen bat gogoratu behar badugu, François Viète matematikariarena da, berak bildu zituelako 1591.ean ordura arteko sinbolo eta idazkera guztiak, sistema koherente eta erabilgarri bat osatuz.

Hala eta guztiz ere, berak bultzada garrantzitsu bat eman arren, ondoren ere agertu ziren sinbolo berriak egoera matematiko berriei erantzuna emateko. Esaterako, Albert Girard-ek XVII. mendean ondokoak proposatu zituen: errotzaile desberdineko erroak, parentesiak eta infinitoaren sinboloa (batzuek azken hau John Wallisi egokitzen dioten arren). Mende horretan ere, Thomas Harriot-ek desberdintza ikurrak sartu zituen, eta batzuen ustez berreketen idazkera ere; aldiz, beste batzuek Descartes-i egokitzen diote. Matematikari frantses honek proposatu zituen 1637.ean: a, b, c konstanteak edo kantitate ezagunak izango ziren eta x, y, z aldagaiak edo kantitate ezezagunak. Lehenago, aljebran kantitate ezezagunari x deitu ordez, "gauza" esaten zitzaion.

Mende bat geroago, L. Euler izan zen notazioan aurrerapen handiak egin zituena: f(x) funtzioetarako, π eta e zenbakiak adierazteko, sin eta cos arrazoi trigonometrikoentzako, Σ baturarentzat eta i zenbaki konplexuen atal irudikariarentzako.

Eskerrik asko: Anne Rooney.