Tales: nola neurtu piramideak piramideak itzalen bidez

Tales Miletokoa

Miletoko hirian, gaur egungo Turkiaren kostaldean, K.a. VII. mendean jaio zen Tales, lehendabiziko matematikari greziar ospetsuena. Objektu matematikoei dagozkien emaitza orokorrak adierazten lehena izan zela esan dezakegu gainera.

Astronomian lanean aritu zen, eta badirudi eguzki-eklipse bat iragartzen zuen lehena izan zela. Kondairak dioenez, Halis-ko guduan zirela, bat batean eklipsearen erruz eguna gau bihurtu zen eta gudariek jainkoen mezu bat zela pentsatuz, bakea egin zuten.

Matematikaren alorrean, esan dezakegu Tales-en interesik handiena geometrian zegoela: zirkuluak, zuzenak, triangeluak... Zeintzuk izan ziren bere lorpenak?

• Angeluak izaki matematiko erabatekotzat hartzen lehena izan zen.
• Triangelu bakoitzari zirkulu bat egokitu dakiokeela, haren hiru erpinetatik igarotzen den huraxe, hain zuzen. Eta zirkunferentzia zirkunskribatu hori nola eratu ere proposatu zuen.
• Bi zuzen elkar ebakitzean eratutako angeluetan, erpinekiko aurkakoak berdinak direla egiaztatu zuen.
• Triangelu isoszele batek bi angelu berdinak dituela frogatu zuen. Lotura sendo bat ezarri zuen horrela luzeren eta angeluen artean: bi alde berdin, bi angelu berdin!
• Zuzenak zirkulua bi zati berdinetan zati dezan, zentrotik pasatu behar dela demostratu zuen. Zirkuluak bere baitan hartzen duen zuzenkirik luzeena da hori: diametroa.
• Eta geometriako askoz emaitza gehiago...

Zein da Tales-en meritu berezia? Azken irudiari erreparatzen badiogu, ez al da logikoa esatea diametroak zirkulua bi zati berdinetan banatzen duela? Orduan zerk egin zuen ospetsu Tales? Ordura arte zirkuluen adibideak jartzen ziren baina bera izan zen lehendabizikoa "edozein zirkuluri" buruz hitz eginez, modu abstraktuan, emaitza orokor bat lortu zuena, "betiko egia" izango zena. Hortxe hasi ziren teoremak.

Hala eta guztiz ere, Egiptorako bidaia batean dugu Tales-en aurkikuntzarik ezagunena. Kontatzen da bertako faraoi batek piramide handiaren altuera neurtzea eskatu ziola, eta horretarako hauxe bururatu zitzaiola. Erronka onartu eta modu dotorean ebatzi zuen: lurrean makil bat sartu zuen, eta haren itzala makilaren altueraren berdina izan zen arte itxaron zuen; orduan izango zen ere piramidearen itzala bere garaieraren berdina. Itzalaren metodo hau erabiliz, anima zaitez zu ere eraikin baten altuera kalkulatzen!

Berezitasun honetatik ondorioztatu zuen, hain zuzen, bere izena daraman teorema: Tales-en teorema, ziur aski ezaguna daukazuna.

Eskerrik asko: Denis Guedj, Mickaël Launay

Grezian bazaude, esandako guztia demostratu beharko duzu

Matematika zientzia bihurtu zen historiako garaia da Grezia Klasikoa. Zeintzuk dira matematika honen ezaugarriak? Aurretik Egipton eta Mesopotamian zeuden ezagutzak beti kasu partikularretan aplikatuak ziren, baina garai honetan matematikaren emaitzak orokorrak izango ziren (pentsa zein orokorrak diren, gaur egun ere balio dutela emaitza gehienek!). Emaitza orokor horiek demostrazioaren tresnaren bitartez lortu zituzten, eta hauxe izan zen, hain zuzen, desberdintasun nabariena aurreko matematikarekin eta historian zehar aurrerapauso ikaragarria.

Non sortu zen hau dena? Hemen ditugu Grezia klasikoko matematikaren hiriburu garrantzitsuenak:

* Urdinez azpimarratutakoak dira matematiken hiri adierazgarrienak.

Espazioan kokatu eta gero, denboran ere kokatu beharra dago matematika. Antzinako Grezian lehendabiziko matematikariak agertu ziren, eta haien matematika hiru garai desberdinetan banatzen dela esan dezakegu:

• Garai helenikoa (K.a. VI-IV): garai honetan, Egipto eta Mesopotamiako Ekialdeko zibilizazioen eragina eta ezagutzak iritsi ziren Greziara, matematikaren sortzaileen eskutatik gainera: Tales geometrian, Pitagoras aritmetikan, Eratostenes... bi eskola nagusirekin batera Eskola Pitagorikoa eta Atenasko Eskola. Hemengo matematika filosofiari oso lotua egon zen.

• Garai helenistikoa (K.a. IV- K.o. I): Greziako matematikaren urrezko garaia izan zen hau, bere hiru matematikari handiekin: Euklides, Arkimedes eta Apolonio. Alexandriako eskola sortu zen hemen, oso gune kultural garrantzitsua.

• Garai greko-erromatarra (K.o. I- Goi Erdi Aroa): matematikari dagokionez, emaitza gutxien eman zuen garaia izan zen hau; hala ere, izen ospetsuak ere egon ziren: Hipatia, Diofanto...

Eskerrik asko: Proyecto Sur, Denis Guedj,

Emakumeen oztopo-lasterketa matematikan

Zenbat emakume matematikariren izena ezagutzen duzu? Ziur aski bakarra edo batere ez. Antzinatasunetik ditugu emakume garrantzitsuak matematikan, baina haiei buruz gutxi aipatzen da. Zergatik orduan ez dira aipatzen XX. mendea baino lehenagoko emakume hauen izenak? Beste batzuen artean hau esaten zen: zientziarako gaitasun falta zutela, hezkuntza matematiko bat lortzeko zailtasunak zituztela, etxeko lanak haiek egin behar zituztela... emakumea ezin zela gizona bezain emankorra izan ezagutzaren arloan.

Kasu hau, zientzialariena alegia, emakumeek gizartean izan dituzten oztopoen adibideetako bat baino ez da. Ezin dira ahaztu bizitzako beste arloetan izan dituztenak ere. Eta horrexegatik merezi dute, gutxienez, aipamen propio bat blog honetan. Honen bitartez, haien lan matematikoetan ez ezik, bizitzaren oztopoekin zerikusia duten bitxikerietan ere murgilduko zara.

Hypatia Alexandriakoa (ca. 370 - ca. 415)

Lehendabiziko emakume matematikari ezaguna dugu Hipatia!!! Greziarra, K.o. 415.ean hildakoa. Teon, bere aita, arduratu zen bere heziketa matematikoaz. Berari esker bihurtu zen Atenasko Eskolako irakasle, eta harekin batera egin zituen Grezia klasikoko matematikari ospetsuen obren iruzkina: Diofantoren Aritmetika, Apolonioren Konikak, Ptolomeoren Almagestoren III. liburua edota Euklidesen Elementuak.

Hipatiaren bizitzaz bere heriotza dugu esanguratsuena. Zirilo apezpikuak ez zuen ametitu emakume bat zientzian jardutea; gainera gehiengoarentzat hain arraroa zen emakume bat zientzian, horrexegatik bere aurkako gorroto giro bat eragin zuela. 415. urteko martxoan euren onetik aterata zeuden kristau talde batek erail zuen. Alexandriako erdialdean topatu zuten, “gurditik atera zuten; biluzik utzi; azala eta haragiak ebaki zizkioten, harik eta arnasak bere gorputza utzi arte; bere gorputza zatikatu zuten...”. Hipatiaren hiltzaileak ez zituzten zigortu.

Madame Du Châtelet (1706-1749)

Frantziarra. Descartesen obra ikasi zuen, eta Newton nahiz Leibnitz-en kalkulu diferentziala eta integrala ere ikasi zituen (batxilergoko ikasleek badakite zer den hau...). Gazteei fisika frantsesez irakasteko libururik ez zegoen, eta berak uste zuen mundua ulertzeko ezinbesteko jakintzagaia zela. Hala, 1745.ean Newtonen Philosophiae Naturalis Principia Mathematica latinetik frantsesera itzultzen hasi zen, iruzkin baliagarriak eta zabalak eginez eta ulerkortasuna asko errazten zuten gehigarriak erantsiz. Lan honekin Newtonen jakintza zientifikoak zabaldu zituen Ingalaterratik Europa osora. 1749.ean Madame Châtelet hil zenerako bere itzulpena amaituta zegoen. Azkenean, Voltaireren aitzinsolasarekin 1759.ean argitaratu zen.

Maria Gaetana Agnesi (1718-1799)

Italiarra. Bere anai-arrebei irakasteko gogo hura, gazteendako liburu baten argitalpen batekin bukatu zuen. Bertan kurben propietateak azaltzen zituen: maximoak, minimoak, inflexio puntuak, tangenteak... Kurben artean, nabarmentzekoa da hirugarren mailako kurba baten ikerketa, gaur egun "Agnesi-ren kurba" izenez ezagutzen duguna. Bere bizitzari dagokionez, zorigaiztoari aurre egin behar izan ziola esan dezakegu: ama 14 urte zituenean hil zitzaion, eta aita 34 zituenean, orduz geroztik komentu batean sartzea erabaki zuen.

Sophie Germain (1776-1831)

Frantziarra. Bere haurtzaroan Frantzian izan ziren aldaketek, gizartekoek zein politikoek, eragin handia izan zuten Sophieren bizitzan. Bereziki, geometriako arazo batean murgilduta zegoelarik, soldadu erromatarrek Arkimedes hil zuteneko kondairak harritu zuen Sophie. Gudaz ahaztarazteko matematikaren eragin boteretsuarekin hain hunkituta geratu zen, non hura ikasteari ekin zion. Hemezortzi urte zituenean, Lagrangeren analisiari buruzko apunte batzuk lortu zituen, eta emakume izateagatik bere ideiak gutxiesteko beldur zenez, gizonezko ezizen batekin sinatu zituen; hain interesgarria iruditu zitzaion Lagrange-ri bere lana, ezagutu eta horrezkero bere aholkulari bihurtu zen, geroztik zientzien munduan murgildu zelarik.  

Bere lanen artean bi dira nabarmendu ditzakegunak: zenbakien teorian, Fermaten azken teoremaren froga partziala (n berdin 5rako aierua), eta teoria matematiko baten bitartez gainazal elastikoen portaerari buruz egindako azalpena,  Pariseko Zientzietako Akademiaren saria merezi izan zuen.

Sonya Kovaleskaia (1850-1891)

Errusiarra. Bertan emakumeek ezin zutenez unibertsitatean ikasi, neskek era kurioso bat aurkitu zuten herritik ateratzeko eta ikasi ahal izateko: mutil bat konbentzitu komenientziagatik ezkontzeko; hura egin zuen honek. Hala, Alemanian Weierstrass matematikari azpimarragarriarekin ikastera joan zen. Bere ikerketak analisi matematikoan burutu zituen, bere tesiaren hiru lanak honako hauek izan ziren, hain zuzen: deribatu partzialezko ekuazioen soluzioen existentzia eta bakartasunari buruz mintzatzen den Cauchy-Kovaleskayaren teorema, Saturnoren eraztunen itxurari buruzko Laplaceren ikerkuntzei gehigarriak eta integral mota zehatz bati buruz.

Emmy Noether (1882-1935)

Alemaniarra. Inbariante algebraikoei buruzko bere lehen espezializazioaren bitartez, energiaren kontserbazioaren problema ebazten baimendu zuten erlatibitatearen teoriarentzako funtsezko bi teorema  demostratzea lortu zuen. Bere ekarpenik garrantzitsuenak ikerketa matematikoan axiomatizazioari buruzkoak eta eraztunen, moduluen, idealen, eragileekin taldeen... azken finean teoria algebraikoan izan ziren.

Saiakera batzuen ostean, 1919.ean lortu zuen unibertsitatean irakasle postu bat, baina 1933.ean nazien erruz, jatorri judua zuenez, Estatu Batuetara alde egin behar izan zuen. Matematikari elkarteak urteetan zehar ez ikusiarena egiten zion arren, azkenean jendearen esker ona lortu zuen bere lan garrantzitsuei esker.

Eskerrik asko González Maján,  RSME, zientzia.net,

π, munduko zenbakirik ospetsuena

Pi zenbakia zirkulu baten perimetroa eta diametroaren arteko zatiketa da. Berdin da zein den zirkuluaren tamaina, handia ala txikia pi beti berdina da. Froga ezazu hari bat eta erregela erabiliz, pi-ren hurbilketa bat lortuko duzu eta.

Zergatik pi izena? π ikurra William Jones-ek barneratu zuen 1706. urtean, ondoren Eulerrek zabaldu zuelarik. Ikurra grekeraz periferia eta perimetro hitzen lehendabiziko hizkitik dator: περιφέρεια (periferia) , περίμετρον (perimetro).

Baina zenbat da pi zehazki? Ondoko bideoko bi neskena zuri ez gertatzeko, irakurri arretaz pi-ri buruz kontatzen dizudana.

Pi gero eta zehatzago historian zehar

Ziurrenik, jadanik Antzinaroan jabetu ziren perimetroa eta diametroaren arteko erlazioaz, edozein tamainako gurpilak bira bat egitean gutxi gorabehera hiru aldiz diametroko luzera egiten zuelako.

Mankala jokuaren pauso bat

Pi-ren historia egipziarrekin hasten da, matematiken kontzeptu asko bezala. K.a. 1650 inguruko Rhind papiroan zirkuluen azalera kalkulatzen bazekitela egiaztatzen da, baina harrigarriena kalkulu horren zehaztasunean dago. Teoria batek dio Mankala jokuaren erabileran dagoela aurkikuntza honen jatorria. Esaten da seguruenik monjeak honetara jolasten zeudela, konturatu zirela honetaz: aldea 8-koa duen karratu baten azalera, diametroa 9-koa duen zirkulu baten azaleraren antzekoa da. Bi hauen azalerak erlazionatuz, saia zaitez zu zeu lortzen pi-ren balioa (3'16 inguruko balioa lortu zuten egipziarrek).

Hala eta guztiz ere, Grezia klasikoan dugu pi-ren teoria sakonago bat. K.a. 225. urtearen inguruan Arkimedes Sirakusakoa matematikari, fisikari eta astronomo ospetsuak pi-ren balioa mugatu egin zuen, aldi berean mende batzuk geroago funtsezkoa izango zen metodo bat erabiliz: exhauzio metodoa. Zirkunferentziaren perimetroa modu zehatzean kalkulatzeko bi hexagono marraztu zituen, bata zirkunferentziaren barrualdea ukitzen (hexagono inskribatua) eta bestea kanpoaldea ukitzen (hexagono zirkunskribatua). Hexagonoaren perimetroa era zehatzean kalkula daitekeenez, Arkimedesek nahikoa zuen bi hexagonoen perimetroa kalkulatzearekin zirkunferentziaren perimetroa ze bi balioaren artean zegoen esateko.

Arkimedes Sirakusakoa eta pi-ren hurbilketa

Gero eta alde gehiago eduki marraztutako poligonoak, orduan eta zehaztasun gehiagorekin eman zitekeen pi-ren balioa. Hori dela eta, Arkimedes 6 aldeko poligonoarekin hasi zen arren, alde kopurua bikoizten joan zen 96 aldeko poligonoa erabili arte. Metodo honen bitartez, irudian agertzen diren bi balioetara iritsi zen.

Egipto, Grezia eta gero Txinako pentsalariek honetan jardun zuten, baina XII. mendetik aurrera, gaur egungo zenbakikuntza sistemarekin batera asko erraztu zen pi-ren balioa lortzeko kalkulua, eta zer esan lehendabiziko ordenagailuak agertu zirenetik!!! 

Denok uste dugunez, pi zenbakiaren erabilera praktikoa zirkuluen kalkuluetan dago, baina arraroa badirudi ere, 1673. urtean Leibnitz matematikariak pi zirkuluetatik urrundu eta zatikien serie infinitu batekin lotu zuen (ea zuk zeuk lortzen duzun segida horren gai orokorra):

Pi-ri buruz hitz egin dugu dagoeneko, baina zein da zenbaki hori? Zenbat hamartar ditu? Lehen ordenagailuekin zifra asko lortu direla badakigu, baina zifra kopurua amaiezina da, patroi errepikakorrik gabeko infinitu zifra baititu. 1761. urtean Lambert matematikariak demostratu zuen pi zenbakia irrazionala dela (ezin dela bi zenbaki osoren arteko zatiketa eran adierazi, eta infinitu hamartar ez periodikoak dituela), eta 1882. urtean Lindemann matematikariak pi transzendentea dela, hau da, ekuazio polinomikoen soluzioa ez dela.

Zertarako balio digu π zenbakiak? 

Lehenengo ordenagailua asmatu zenetik pi-ren zifra hamartar asko lortu dira, gaur egun bilioi bat zifra inguru ezagutzen direlarik. Hala eta guztiz ere, pi-ren zifra gutxirekin nahikoa izaten da kalkulu zehatzak egiteko.  Orduan, zertarako behar ditugu jakin hainbeste zifra? Adibidez, ordenagailu batek pi-ren zifrak lortzen ematen duen abiadura erabiltzen da ordenagailu horren trebezia konputazionala neurtzeko.

Hala ere, oraindik ez baduzu argi zergatik den hain garrantzitsua zenbaki hau, hona hemen bere agerpenen zerrenda txiki bat:

• Geometrian: zirkuluaren perimetro eta azaleran, gorputz biribilen azalera eta bolumenetan (zilindroan, konoan, esferan)...
• Kalkuluan: astroide, zikloide, kardioide eta Arkimedesen espiralak sortzen duten azalera zatietan.
• Analisian: serie infinituetan, Gauss kanpaian, Eulerren identitatean, etab.
• Eta baita probabilitatean ere!

Ikaragarria ezta? Eta zenbaezinak dira ere zenbaki honi buruzko kuriositateak, haren lehen zifrak gogora ekartzeko asmatu diren tramankulu eta tresnak bezala: abestien letrak, zifren koloreak, musika zifrekin... zuk zeuk azter dezakezu mundu miragarri hau zure kabuz. Akira Haraguchi injeniari japoniarra gai izan zen 2006. urtean pi zenbakiaren lehen 100 000 zifrak buruz esateko, 20 ordu inguru behar izan zituelarik!!!

Eskerrik asko Tony Crilly, Marcus du Satoy, Lolita Brain.

Kolore adina zenbaki

Zenbat zenbaki mota ezagutzen dituzu? Historian zehar, beharren arabera, gizakiak zenbaki multzo ezberdinak aurkitu ditu:

Zenbaki arruntak

 

Haur txikiak garenean zenbaki arruntak dira ikasten ditugun lehendabizikoak, kantitateak adierazteko aukera ematen digutenak: 1, 2, 3, 4... Hauek izan ziren, hain zuzen ere, historian zehar lehenengo aldiz erabili ziren zenbakiak, gizakiak bere ingurunearekin harremanetan jartzeko beharretik abiatuta: artaldean zegoen ardi kopurua zenbatzeko, adibidez. Zenbatzeko harriak, makiltxoak, behatzak edota hezurretan egindako markak (K.a. 20000. urte inguruko Ishango-ko hezurrean bezala) egiten zituzten. Hortik datorkigu zenbakien lehen agerpena eta erabilera.

 

La maravillosa historia de los números artikulutik aterata

ko irudia

Zenbaki arrazionalak

Baina nola banatu hiru ogi bi pertsonen artean? Edo nola neurtu patroi baten arabera, kopuru zehatza ez bada? Banaketa proportzionala egiteko edota neurketak egiteko beharra sortu zenean, zenbaki arrazionalak erabiltzeko premia agertu zen (zenbaki arrazionalak bi zenbaki arrunten zatiki eran jarri daitezkeenak dira). Zatikien lehen erabilera idatzia ere egiptoarrei zor diegu. Bizitza arrunteko arazoak konpontzeko sortu ziren: langileei janari eta edariarekin ordaintzen zitzaienez, adibidez 9 ogi puska 10 pertsonei banatzen jakiteko, zatikiak menperatu behar zituzten. Hori bai: soilik zenbakitzailea 1ekoa zuten zatikiak adierazten zituzten.

Antzinako Egipton, nekazal lurraldeen azalerak neurtzeko 1/2 zatikiaren berreturak erabiltzen zituzten, Orus jainkoarekin zerikusia zuen sinbologia berezi baten bitartez: Orus-en begiaren zati bakoitzak zatiki bat adierazten zuen:

 

El ojo de Horus artikulutik ateratako irudia

Ondoren, antzinako greziarrek ere zatikiak erabili izan zituzten, baina oraindik ez zituzten zenbaki bezala onartu, bi zenbakiren arteko proportzio gisa baizik. XV. mendearen bukaerara arte itxoin behar izan zen gaur egun zatikiak adierazteko dugun modua finkatzen hasteko.

Zenbaki negatiboak

Eta, noiz agertu ziren orduan zenbaki negatiboak? Sinestezina badirudi ere, oso berandu onartu ziren zenbakien artean. Zenbaki hauek ez dira objektu kopuruak adierazteko baliogarriak, baina bai erreferentzia baten arabera ordenatzeko: zero azpiko tenperatura adierazteko edota diru-zorrak eta ondasunak adierazteko, esateerako. Lehen aldiz testu txinatar batean agertu ziren: Matematika artearen bederatzi kapituluak (K.a. II - K.o. I). 

 

Blog de apoyo al alumno irudia

 

Dena den, Erdi Aroko matematikari indiarrak (XII. mendeko Brahmagupta eta Bhaskara) izan ziren zenbaki negatiboen arteko eragiketak modu egokian azaldu zituztenak, aurrerago minus ikurra Widmann-ek 1489. urtean lehen aldiz erabili zuen arte. Hala ere, Europako berpizkundean oraindik negatiboak ez ziren onartzen zenbaki bezala (pentsa, XVI. mendean oraindik Michael Stifel alemaniarrak zenbaki zentzugabeak deitzen zituen). Frantziako Albert Girard izan zen ziurrenik XVII. mendetik aurrera zenbaki negatiboak ohiko moduan erabiltzen hasi zena, eta XIX. mendearen hasierara arte ez zen haien aritmetika erabat finkatu (zer berandu!).

Gaur egun ezinbestekoak ditugula badakigu, erreferentzia gisa jokatzen duen elementu batekin konparatu nahi badugu: tenperatura adierazteko, eraikinetako solairuen azpitik daudenak identifikatzeko, diru zorrak adierazteko, etab. Matematikoki, zenbaki arrunt bat eta zenbaki handiago baten arteko kenketa egiteko beharrezkoak suertatzen zaizkigu.

 

Zenbaki irrazionalak

Zenbaki irrazionalei dagokienez, ez dago zalantzarik haien historia bitxia izan zela. Antzinako greziarrak K.a. VI. mendearen inguruan neurri batzuk zatiki moduan adierazi ezin zirela konturatu zirenean agertu ziren.

 

Esaterako, bi zenbakiaren erro karratua aldea unitatea duen karratu baten diagonala ezin zen arrazionala izan (Pitagoras-en teorema aplikatzen baduzue, lortuko duzue zenbaki hau: egin froga!). Bestalde, pi zenbakia, bateko erradioa duen zirkulu baten azalera zein den bilatzen baduzue, aurkituko duzue.

 

Hortik aurrera zenbaki mota berri baten agerpena antzematen hasi zen. Zenbaki irrazionalak bi multzotan banatzen ditugu gaur egun: algebraikoak (ekuazio polinomikoen soluzio direnak: biren erro karratua...) eta transzendenteak (ekuazio polinomikoen soluzio ez direnak: pi, e, phi...). XIX. mendean izan zen Abel, Galois, Hermite eta Liuville zenbaki irrazionalak sakonago ezagutu zituzten garaia.

La guía matemática webgunetik egokitua

Zenbaki konplexuak

Orain arteko guztiak zenbaki errealak dira, baina hauek ez dira nahikoak zenbaki bat bere buruarekin biderkatzean, zenbaki negatibo bat lortu nahi dugunean. Pentsa ezazue: zein zenbaki ber bi eginda emango du - 1? Posible al zenbaki bat bere buruarekin biderkatu ondoren -1 zenbakia lortzea?

 

Hortik suertatzen dira, azkenik, zenbaki konplexuak. XVI. mendeko matematikariak konturatu ziren errotzaile bikoitiko zenbaki negatiboak ezin zirela kalkulatu, eta hortik aurrera, XVII. mendean Leibnitz-ek unitate irudikariaren kontzeptua sartu zuen, gero Eulerrek ikur berezi baten bidez adierazi zuelarik XVIII. mendean:

Hala ere, XIX. mendera arte hurbildu beharra dugu zenbaki konplexuen teoria sakonagoa lortu nahi badugu. Bertan dauzkagu Cauchy, Riemann, Weierstrass, Gauss edo Hamilton bezalako matematikariak, zenbaki konplexuen erabilera finkatu zutenak.

Eta zenbakien nahaste hau guztia berriz ere errepasatu nahi baduzu, Eduardo Saenz de Cabezón matematikariaren ondoko bideoa ikustera gonbidatzen zaitut. Zorte on bidaia zoragarri honetan!

Eskerrik asko: Anne Rooney.

Urrezko zenbaki bitxia

Ez dakit egongo den zenbaki miresgarriagorik matematikan... Toki guztietatik agertzen da, espero ez den adierazpen gisa gainera. Phi izenarekin ezagutzen da, ziurrenik bere obretan kontutan hartu zuen Phidias eskultore grekoaren omenez, eta 1'61803... hasten den zenbaki irrazional hau da:

Bere lehen agerpena K.a. 2600. urtearen inguruan izan zen Egipton, Keops-eko piramide nagusiaren neurrietan agertzen baita hiru neurri desberdinetan; horietako bat: piramidearen triangeluetako baten altuera eta ertzaren arteko zatiketa bi aldiz phi da. Grezia klasikoan dugu bere erabilera anitzaren abiapuntua Atenasko Partenoiaren proportzioetan, geroago zenbait artistek erabilera hori zabaldu zutelarik (adibidez, Leonardo da Vinciren Gioconda pintura ospetsuan).

Hala ere, bere azterketa sakonagoa Euklides eta Platonen eskuetatik datorkigu hori dena baino lehen: "zuzenki bat urrezko proportzioan egongo da zatiturik, zuzenki eta zati handienaren artean, zati handien eta txikienaren arteko proportzioaren berdina denean". Erlazio hori ebaztean agertzen zaigu, hain zuzen, zenbaki irrazional hau, x^2-2x-1 = 0 ekuazioaren soluzio gisa (egiaztatu dezakezu, jadanik ezaguna duzun bigarren mailako ekuazioen formula erabiliz...).

Aritmetikako zenbait eragiketetan ere agertzen da espero ez den modu batean, alboko bi eragiketetan ikus dezakegun bezala.

Baina bere agerpenik interesgarrienetako bat geometrian aurkitzen da, oso modu desberdinetan agertzen baita: urrezko laukizuzenean, pentagraman edota espiral logaritmikoan. Eta ez hori bakarrik: hain egokia eta polita iruditzen zaigu proportzio hau, gaur egungo gauzarik arruntenetan ere badagoela, kreditu txartelen neurrian, besteak beste (alde luzea alde motzarekin zatituz lortuko duzu).

Fibonacci italiarrak XIII. mendearen hasieran bere segida ospetsuaren gaiak aurrekoekin zatituz lortzen zela ere ohartu zen, eta horrek urrezko zenbakiaren agerpena dakarkigu, esaterako, naturaren alor askotan. Beheko lehendabiziko irudian "Nautilus" moluskua ikus dezakegu. Espiral logaritmiko baten arabera dago egina, eta espiral hau urrezko laukizuzenen arabera definitua dagoela egiazta dezakegu irudian.

Bigarren irudiari dagokionez, Leonardo da Vinci izan zen gorputzaren proportzio orekatuak marrazki honetan adierazi zituena. Ondoren, Luca Pacioli-k 1509. urtean argitaratutako liburuaren azalean agertzen da; liburu horretan, eraikinen eta giza gorputzaren proportziorik egokienak zeintzuk diren idazten du, eta dirudienez, gizakiaren altuera (karratuaren aldea) eta zilborretik eskuraino dagoen distantzia (zirkunferentziaren erradioa) zatituz, urrezko zenbakia lortzen da.

Azkenik, eta goiko hirugarren irudia arreta handiz begiratzen badugu, Fibonacci-ren segidaren zenbakietako batzuk aurkituko ditugu gure behatzen falangeen luzeran: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... Lehen esan den bezala, ondoko gaia aurrekoarekin zatituz berriz ere hurbiltzen gara urrezko zenbakiaren baliora: 1'618... Hau omnipresentea, baita gure gorputzean ere aurki behar ditxosozko zenbaki hau! Saia zaitez zure eskuan, agian urrezko zenbakia aurkituko duzu eta.

Dena den, hau laburpen txiki bat besterik ez da izan, zenbaki bitxi eta misteriotsu honi buruzko informazio izugarri baitago; zuen irudimen eta jakinduriari opari bat egiteko, hemen dauzkazue interesgarriak suerta daitezkeen zenbait esteka:

Eskerrik asko Cristobal Vila, TVE2, Ignacio Langarita, Lolita Brain, Junta de Andalucía.

Nola bihurtuko zenuke zirkulu bat karratu?

Grezia klasikoan proposatu zituzten, baina historia osoko matematikarien buruhauste bihurtu ziren. 2200 urte geroago demostratu zen ezinezkoak zirela, baldintza honen pean ebatzi behar baitziren: soilik konpasa eta erregela erabili ahal izatea.

• Angeluaren trisekzioa; galdera ondokoa da: posiblea da edozein angelu hiru angelu berdinetan zatitzea? Argi dago pi angelua (180 gradu) erraza dela, 60 gradu direlako eta hexagonoaren bitartez lor daitekeelako, esaterako. Ez dakigu ziur nondik datorren buruketa; posible da gaueko ordua jakiteko izarren arteko angeluak neurtzeko beharretik etortzea...

• Zirkuluaren koadratura: nori bururatu dakioke zirkulu bat karratu bihurtzea?! Eroak al daude matematikari hauek?! Badirudi ezetz. Gainera saiakera hau oso istorio bitxiari lotuta doakio. Anaxagoras (K.a. V. mendea) filosofo grekoa kartzelatuta izan zen Eguzkia haitz gori handi bat besterik ez zela esan zuenean. Kartzelan zegoelarik, honekin entretenitu egiten zen: edozein zirkulu izanik, azalera erabat berdina duen karratu bat marraztu, soilik erregela eta konpasa erabiliz.

• Kuboaren bikoizketa: buruketa hau Atenaseko epidemia gogor batean zehar agertu zen, K.a. 430ean. Herritarrek Deloseko orakuluari galdetu zioten nola zen posible epidemia amaitzea, eta honek Apolo jainkoak bere aldarearen tamaina bikoiztea eskatu zuela esan zuen. Espero zen bezala, bolumena bikoizteko kuboaren neurriak bikoiztu zituzten, baina honek ez zuen bolumena bikoiztu, zortzi bider egin baizik!!! Ertz bakoitza x2 eginez gero, hiru ertzek osotara x2x2x2 = 2ber3 egingo zuten. Platonen arabera, orakuluak herritarrak lotsarazi nahi omen zituen matematika eta geometriaren ezagutza alde batera utzita izateagatik. Guri ez dakigun gauza bera gertatu...

Eskerrik asko: Anne Rooney.

Formulak marrazki bihurtzen direnean

Frantzian XVII. mendean nabarmentzeko moduko bi matematikari aurkitzen ditugu: Fermat eta Descartes.

Apolonio grekoaren koniken liburua aztertu bitartean, Fermat leku geometrikoak lantzen zebilen, hau da, planoan edo espazioan baldintza geometriko zehatz batzuk betetzen dituzten puntu guztiek sortzen dituzten irudiak. Fermat ondokoaz ohartu zen: puntuei ezarritako baldintzak bi ezezaguneko ekuazio bakar baten bidez adierazi bazitezkeen, leku geometrikoa kurba bat izango zen. Hau egin eta gero, ekuazioen adibide batzuk landu zituen, zer nolako kurba sortzen zuten aztertzeko. Labur esanda, Fermat ardatzak eta koordenatuak barneratzen ari zen.

 

Hala eta guztiz ere, koordenatuen adierazpen modernoa Descartesen filosofo eta matematikariaren eskutik etorri zen. Alfabetoaren hasierako hizkiak (a, b, c) kantitate ezagunak izendatzeko erabili zituen eta bukaerako hizkiak (x, y, z) kantitate ezezagunak adierazteko. Gaur egungo berretura eta eragiketen adierazpen berdina erabili zuen, berdin ikurrarena izan ezik.

Descartesen aurrerapausoa Geometria eta Algebra bateratzea izan zen. Kurbak ez ziren jada geometrikoki eraikitako objektuak, algebraikoki definitu ahal ziren objektuak baizik. Hortaz, planoan puntu bat definitzeko bi zenbaki behar ditugu eta ekuazioak kurba bat definitzen du; espazioan, aldiz, hiru koordenatu behar ditugu eta ekuazioak gainazal bat eraikiko du. Honek edozein dimentsiotako objetuak definitzeko aukera eman zuen, algebrarekin nahikoa baitzen. Inoiz bururatu al zaizu ekuazio batean ezezagunei balioak emanez irudiak sortuko zirela? Zuk zeuk froga dezakezu Geogebraren bitartez, deskargatu eta irudi bitxiak lortuko dituzu. Saia zaitez ondokoarekin, ea ze irudi ateratzen zaizun:

$${ ({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-1 })^{ 3 }-{ x }^{ 2 }{ y }^{ 3 }=0$$

Descartesek koordenatu kartesiarren sistema burutu zuen, baina balio negatiboak adierazi gabe eta angelu zeiharrak erabiliz ardatzen artean (gaur egungoa, zenbaki positibo zein negatiboekin, eta ardatz perpendikularrekin Newtonek erabilil zuen XVII-XVIII. mendean). Ondorengo matematikariek beste koordenatu mota batzuk proposatu zituzten kurba zailagoak adierazteko: koordenatu polarrak, koordenatu esferikoak...

Azkenik, koordenatuek bidea ireki zuten funtzioak grafikoki adierazteko balio bikote hauei esker (x-en balio bakoitzarentzat, f(x) kalkulatu eta balio bikotea ardatzetan irudikatzea besterik ez zen).

Eskerrik asko: Anne Rooney.

Erahilketa erro karratu batengatik

Atenasko eskola

Hipasoren heriotza

Erro karratuak, ikasleei buruhauste gehien sortarazten dizkien kontzeptu matematiko madarikatua. Gezurra badirudi ere, lehendabiziko agerpen isilak duela 2600 urte inguru hasi ziren!

K.a. V. mendeko Grezia klasikoan, Eskola pitagorikoa astronomo, musikari, matematikari eta filosofoen erakunde mistiko bat zen. Pitagorikoek, unibertso osoa zenbaki arrunt eta zatikien bidez azaldu zitekeela uste zuten; gaur egun badakigu arruntak eta arrazionalak ez direla zenbaki mota bakarrak, baina orduko ezagutzan ez zegoen beste zenbaki mota batentzako lekurik.  

Metapontoko Hipaso delakoak (K.a. 500. urtearen inguruan jaioa), aldiz, unitate bateko aldea zuen karratuaren diagonala neurtu nahian zebilenean, zenbaki bitxi eta neurtezin batekin topo egin zuen: bi-ren erro karratua, hain zuzen. Pitagorasen teorema aplikatuz, saia zaitez lortzen aldea 1 duen karratu baten diagonala, ea zer ateratzen zaizun. 

Hipasok ez zituen gure gaur egungo idazkera eta prozedura erabiliko, baina argi dago zatiki eran adierazi ezin zen zenbaki berri bat aurkitu zuela, hau da, zenbaki irrazional bat: bi-ren erro karratua. Eta gainera Pitagorasen teorema erabiliz!  

Hau kontraesana!!! Legendak dioenez, Hipasok bere aurkikuntza itsasontzi batean zihoaztenean kontatu zuen, eta ideia hura zabaltzerakoan, uretara bota egin zuten, itota hil zelarik. Aurkikuntza ikaragarria onartu ordez, talde misteriotsu honetako parteideak, norbait haiekin kontraesanetan jartzea eta haien ideiak apurtzearen beldur ziren.

Kontraesankorra badirudi ere, pitagorikoen aurka zihoan emaitza bat Pitagorasen teoremaren bidez lortu zen; eta ez zen hura izan bitxikeria bakarra! Haien sektaren sinboloa pentagrama edo pentagono izartua zen, eta bertan ere aurkitzen zen beste zenbaki irrazional bat: urrezko zenbakia hain zuzen, blog honetako beste mezu batean sakonago azalduta topatuko duzuna. Pentagonoaren diagonala eta bere alde baten arteko zatiketa eginez lortzen da, edozein pentagono erregularretan! Saiatu zu zeu hemen klik eginez.

Eskerrik asko: Anne Rooney, IES Pravia.