Zenbaki irudikariak. Izenak esaten du dena

1 zenbakiaren erro karratua 1 da, baina zenbat da -1 zenbakiaren erro karratua? Zein da ber bi eginez -1 aterako den zenbakia? Ikasi dugun bezala, ber bi eginez zenbaki guztiak positibo egiten dira. Orduan, nola konpondu egoera hau?

Zenbaki negatiboen erro karratuekin Cardanok egin zuen topo lehendabiziko aldiz 1545.ean, bere Ars Magna liburuan  3. eta 4. mailako ekuazioen ebazpena azaltzen ari zenean: "banatu 10 bi zatitan, haien arteko biderkadurak 40 emango duelarik". Berak ez zituen oraindik zenbaki gisa onartu, baina behintzat zioen "oinaze handirik gabe, bi soluzioen arteko biderkadurak 40 ematen duela ikus dezakegu"  $$x·\left( 10-x \right) =40\\ \\ { x }_{ 1 }=5+\sqrt { -15 } \\ { x }_{ 2 }=5-\sqrt { -15 } \\ \\ \left( 5+\sqrt { -15 }  \right) \left( 5-\sqrt { -15 }  \right) =25-\left( -15 \right) =40$$ 

 

Urteetan zehar matematikariek ezin zuten konpondu egoera hau, 1572.ean Rafael Bombelli ingeniari italiarrak  -1en erro karratua zenbaki gisa kontutan hartu zuen arte. Matematikari askok ez zituzten erabat onartu; are gehiago, Descartesek mespretxuarekin deitu zien zenbaki irudikariak. 1777. urtean Eulerrek i zenbakiarekin izendatu zuen  irudikari hitzaren lehendabiziko hizkia hartuz:

i zenbakia

 

Baina zenbaki gisa onartu ondoren, nola kokatu zuzen errealean? 1673.ean John Wallis-ek zenbaki konplexu bakoitzari planoko puntu bat egokitu zion: ardatz batean zati erreala eta beste ardatzean zati irudikaria. Ondoren 1806an Jean Robert Argand matematikari suitzarrak horrelaxe adierazi zituen:

Plano konplexua

 

W.R. Hamilton-ek, aldiz, ez zuen beharrezkoa izan i erabiltzea, nahikoa baitzen (a,b) pare ordenatuarekin. Modu batean ala bestean, benetan ikusgarriak diren irudi geometrikoak sor daitezke zenbaki konplexuak erabiliz. Esaterako, 1980. urtean Mandelbrot-ek beheko irudia azaldu zuen, formula sinple batean zenbaki konplexuak ordezkatuz; ondoko bideoan ikus daiteke nola sortu irudi zoragarri hau GeoGebra softwarea erabiliz: $${ z }_{ n+1 }={ z }_{ n }^{ 2 }+c$$

Mandelbrot-en multzoa

 

Arraroa badirudi ere, gaur egungo aurrerakuntza asko ez ziren izango posible zenbaki irudikariak gabe: korronte alternoa, erlatibitatearen teoria, seinale prozesaketa edo fluidoen mekanikan, beste batzuen artean.

Eskerrik asko: Tony Crilly, Ian Stewart, Clifford A. Pickover. Informazio gehiago aurki dezakezu Rafael Andres Alemañ http://es.slideshare.net/raalbeautor/numeros-complejos ikertzailearen diapositibetan.