11 ogi bost pertsonen artean banatu nahi baditut

Nor ez da erotu zatikien arteko eragiketak ikasterakoan? Jakin ezazu gaur egun zorte handia daukazula, ez zitzaizulako tokatu Egiptoko zatikiak erabiltzen ikastea. Horiek bai zailak! Ezagutu izan bazenitu, orain gehiago baloratuko zenuke gure zatiki maiteen sinpletasuna. Goazen ikustera ea nondik datorren beraien istorioa.

Harrizko Aroko gizakiek ez zuten zatikirik erabili behar, baina Brontze Aroan maila kultural aurreratuagoa lortu zenez, lehen aldiz agertu zen kontzeptuaren beharra eta zatikien notazioa.

Antzinako Egipto (K.a. 1800 inguru)

Denok argi daukagu nola banatu modu berean 10 ogi 5 pertsonen artean, baina nola egin dezakegu  hamaika ogi bost pertsonen artean banatzeko? Edo nola neurtuko dugu objektu bat patroi baten arabera, kopuru zehatza ez bada? Banaketa proportzionala egiteko edota neurtzeko beharra sortu zirenean, zenbaki arrazionalak erabiltzeko premia sortu zen (gogoratu: arrazionalak, zatiki moduan adierazi daitezkeen zenbakiak dira).

Ogia (cocinatis.com)

 

Zatikien lehen erabilera idatzia egiptoarrei zor diegu. Bizitza arrunteko arazoak konpontzeko sortu ziren: langileei janari eta edariekin ordaintzen zitzaienez, adibidez 7 ogi puska 10 pertsonei banatzen jakiteko, zatikiak menperatu behar zituzten. Hori bai: bakarrik zenbakitzailea 1ekoa zuten zatikiak erabiltzen ziren (zatiki unitarioak). Modu honetan adierazten zituzten:

Zatiki egiptoarrak (soymatematicas.com/fracciones)

Zuk pentsatzeko: nola idatziko zenuke 1/99 zatikia Antzinako Egipton bezala?

Egiptoarrek zatikiekin lan egiteko modu bitxia zuten. Bakarrik zatiki unitarioak erabiltzen zituzten, hau da, zenbakitzailea 1 zutenak, 2/3 zatikia izan ezik. Zatiki hau oso berezia zen, izan ere, kopuru baten herena kalkulatzeko, lehenik 2/3 aplikatu eta gero horren erdia lortzen zuten. Ze korapilatsuak!

Ezin zutenez beste zenbakitzaile bat adierazi, dena zatiki unitarioen bidez adierazten zuten, eta, gainera, zatiki horiek gainera ezin ziren errepikatu:

 Imajinatu ondoko egoera: harategira zoaz, eta saltzaileari 2/5 kilo haragi eskatu beharrean, 1/3+1/15 haragi eskatzen diozu. Zer aurpegi geratuko litzaioke dendariari?    Antzinako Babilonia (K.a.1600 inguru)  Babiloniarren aritmetika eta aljebra nagusiagoak izan ziren, egiptoarrekin konparatuta, baina...zein izan zen haien sekretua? Zenbakien printzipio posizionala (zifra bakoitza, okupatutako posizioaren araberakoa izatea) zatikietan ere erabili zuten, eta hori oso erabaki ona izan zen. Horri esker, gaur egun zati hamartarrekin dugun kalkulu sinpletasun guztia eskura izan zuten.

   Antzinako Grezia
Antzinako greziar notazio-sistemak bere ahulguneak erakusten zituen zatikien tratamenduan. Hasieran, zatiki unitarioak erabiltzen zituzten, egiptoarrek bezala, eta izendatzailearen eskuinaldean azentu bat jarriz irudikatzen zituzten, nahasgarria izan zitekeena, honek azken zifrari edo batzuei eragiten ahal zielako:

Ondorengo mendeetan, ohiko zatikiak eta sexagesimalak (60 oinarrikoak) gehiago erabiltzen hasi ziren. Azken horiek astronomia eta fisikako tresna bihurtu ziren, baina posible da jendeak garai hartan ez erabiltzea. Zatikiak zenbakitzailea izendatzailearen azpian jarriz idazten ziren (gaurkoaren alderantzizkoa), eta egungo banaketa-barra gabe (lerroa). Nolanahi ere, Heronek nahiago izan zuen Egiptoko zati zaharrak erabiltzea; bere ondoren, zatiki unitarioen zaletasun hori oraindik mila urtez luzatu zen Europan, Heronen garaiaren ondoren behintzat.   

Txina (K.o. 100. urte inguru)

Txinatarrek ongi ezagutzen zituzten zatiki arruntekin egindako eragiketak, baita zenbait zatikiren izendatzailearen multiplo komun minimoa aurkitzen ere (ziur aski zuk ere jakingo duzu). Gainera, Txinan zatikiak dezimalizatzeko joera zuten (10en multiplo izendatzailea). Sexu desberdinekiko konparaketak ezartzen zituzten: zenbakitzailea semea zen eta izendatzailea ama. Horrek arauak ikastea errazten zien.

iStock

Europa (Erdi Aroa)
 Historiako ironia nabarmenetako bat hauxe izan zen: zenbakien sistema posizionalak (zifra bakoitzak balio ezberdina daukana posizioaren arabera) bizitza errazten badigu, zergatik kostatu zitzaien hainbeste zatikietan ere aplikatzea? Mila urte igaro behar izan ziren, zifra indiar-arabiarrak barneratu zituztenek, zatikiak ere horrela lantzeko.
Horretan, Fibonaccik (1202ko Liber abaci) beste batzuek adina erru izan zuen, hiru zati-mota erabili zituelako (komunak, unitarioak eta sexagesimalak), baina inoiz ez hamartarrak. Hau eromena!

Fibonaccik oso gustoko zituen Egiptoko zatiki unitarioak; bere lanetan, zatiki komunetatik unitarioetara bihurtzeko zenbait taula daude. Gizajoa Erdi Aroko negozio-gizona, halako sistema erabili behar izateagatik diru-konbertsioetarako!
Zuk pentsatzeko: zatiki unitario hauekin, ba al dakizu zein zatiki adierazten ari garen?

Nolanahi ere, gaur egun bezala zatiketaren lerroa erabili zuen lehen matematikari europarra bera izan zen: Fibonacci.

Eskerrik asko: Carl B. Boyer