11 ogi bost pertsonen artean banatu nahi baditut

Nor ez da erotu zatikien arteko eragiketak ikasterakoan? Jakin ezazu gaur egun zorte handia daukazula, ez zitzaizulako tokatu Egiptoko zatikiak erabiltzen ikastea. Horiek bai zailak! Ezagutu izan bazenitu, orain gehiago baloratuko zenuke gure zatiki maiteen sinpletasuna. Goazen ikustera ea nondik datorren beraien istorioa.

Harrizko Aroko gizakiek ez zuten zatikirik erabili behar, baina Brontze Aroan maila kultural aurreratuagoa lortu zenez, lehen aldiz agertu zen kontzeptuaren beharra eta zatikien notazioa.

Antzinako Egipto (K.a. 1800 inguru)

Denok argi daukagu nola banatu modu berean 10 ogi 5 pertsonen artean, baina nola egin dezakegu  hamaika ogi bost pertsonen artean banatzeko? Edo nola neurtuko dugu objektu bat patroi baten arabera, kopuru zehatza ez bada? Banaketa proportzionala egiteko edota neurtzeko beharra sortu zirenean, zenbaki arrazionalak erabiltzeko premia sortu zen (gogoratu: arrazionalak, zatiki moduan adierazi daitezkeen zenbakiak dira).

Ogia (cocinatis.com)

 

Zatikien lehen erabilera idatzia egiptoarrei zor diegu. Bizitza arrunteko arazoak konpontzeko sortu ziren: langileei janari eta edariekin ordaintzen zitzaienez, adibidez 7 ogi puska 10 pertsonei banatzen jakiteko, zatikiak menperatu behar zituzten. Hori bai: bakarrik zenbakitzailea 1ekoa zuten zatikiak erabiltzen ziren (zatiki unitarioak). Modu honetan adierazten zituzten:

Zatiki egiptoarrak (soymatematicas.com/fracciones)

Zuk pentsatzeko: nola idatziko zenuke 1/99 zatikia Antzinako Egipton bezala?

Egiptoarrek zatikiekin lan egiteko modu bitxia zuten. Bakarrik zatiki unitarioak erabiltzen zituzten, hau da, zenbakitzailea 1 zutenak, 2/3 zatikia izan ezik. Zatiki hau oso berezia zen, izan ere, kopuru baten herena kalkulatzeko, lehenik 2/3 aplikatu eta gero horren erdia lortzen zuten. Ze korapilatsuak!

Ezin zutenez beste zenbakitzaile bat adierazi, dena zatiki unitarioen bidez adierazten zuten, eta, gainera, zatiki horiek gainera ezin ziren errepikatu:

 Imajinatu ondoko egoera: harategira zoaz, eta saltzaileari 2/5 kilo haragi eskatu beharrean, 1/3+1/15 haragi eskatzen diozu. Zer aurpegi geratuko litzaioke dendariari?    Antzinako Babilonia (K.a.1600 inguru)  Babiloniarren aritmetika eta aljebra nagusiagoak izan ziren, egiptoarrekin konparatuta, baina...zein izan zen haien sekretua? Zenbakien printzipio posizionala (zifra bakoitza, okupatutako posizioaren araberakoa izatea) zatikietan ere erabili zuten, eta hori oso erabaki ona izan zen. Horri esker, gaur egun zati hamartarrekin dugun kalkulu sinpletasun guztia eskura izan zuten.

   Antzinako Grezia
Antzinako greziar notazio-sistemak bere ahulguneak erakusten zituen zatikien tratamenduan. Hasieran, zatiki unitarioak erabiltzen zituzten, egiptoarrek bezala, eta izendatzailearen eskuinaldean azentu bat jarriz irudikatzen zituzten, nahasgarria izan zitekeena, honek azken zifrari edo batzuei eragiten ahal zielako:

Ondorengo mendeetan, ohiko zatikiak eta sexagesimalak (60 oinarrikoak) gehiago erabiltzen hasi ziren. Azken horiek astronomia eta fisikako tresna bihurtu ziren, baina posible da jendeak garai hartan ez erabiltzea. Zatikiak zenbakitzailea izendatzailearen azpian jarriz idazten ziren (gaurkoaren alderantzizkoa), eta egungo banaketa-barra gabe (lerroa). Nolanahi ere, Heronek nahiago izan zuen Egiptoko zati zaharrak erabiltzea; bere ondoren, zatiki unitarioen zaletasun hori oraindik mila urtez luzatu zen Europan, Heronen garaiaren ondoren behintzat.   

Txina (K.o. 100. urte inguru)

Txinatarrek ongi ezagutzen zituzten zatiki arruntekin egindako eragiketak, baita zenbait zatikiren izendatzailearen multiplo komun minimoa aurkitzen ere (ziur aski zuk ere jakingo duzu). Gainera, Txinan zatikiak dezimalizatzeko joera zuten (10en multiplo izendatzailea). Sexu desberdinekiko konparaketak ezartzen zituzten: zenbakitzailea semea zen eta izendatzailea ama. Horrek arauak ikastea errazten zien.

iStock

Europa (Erdi Aroa)
 Historiako ironia nabarmenetako bat hauxe izan zen: zenbakien sistema posizionalak (zifra bakoitzak balio ezberdina daukana posizioaren arabera) bizitza errazten badigu, zergatik kostatu zitzaien hainbeste zatikietan ere aplikatzea? Mila urte igaro behar izan ziren, zifra indiar-arabiarrak barneratu zituztenek, zatikiak ere horrela lantzeko.
Horretan, Fibonaccik (1202ko Liber abaci) beste batzuek adina erru izan zuen, hiru zati-mota erabili zituelako (komunak, unitarioak eta sexagesimalak), baina inoiz ez hamartarrak. Hau eromena!

Fibonaccik oso gustoko zituen Egiptoko zatiki unitarioak; bere lanetan, zatiki komunetatik unitarioetara bihurtzeko zenbait taula daude. Gizajoa Erdi Aroko negozio-gizona, halako sistema erabili behar izateagatik diru-konbertsioetarako!
Zuk pentsatzeko: zatiki unitario hauekin, ba al dakizu zein zatiki adierazten ari garen?

Nolanahi ere, gaur egun bezala zatiketaren lerroa erabili zuen lehen matematikari europarra bera izan zen: Fibonacci.

Eskerrik asko: Carl B. Boyer

Neurririk gabeko mundua

1999ko irailaren 23an, Martitz planetara abiatzen zen Mars Climate espazio-zunda apurtu egin zen. Proiektu hartan inbertitutako 125 milioi dolar bertan behera geratu ziren, baina hori ez zen okerrena. Badakizue zergatik egin zuen talka? Zunda diseinatu zutenean, neurtzeko unitateak kontutan hartu ez zituztelako: Lurretik aginduak metrotan bidaltzen ziren (sistema metriko hamartarra) baina espazio-ontziak miliatan jasotzen zituen (sistema anglosaxoia). 

Historian zehar, hauxe izan da neurketen helburu nagusiena: denok elkar ulertzeko, modu berean neurtzea. Goazen ikustera pausoz pauso nola iritsi garen gaur egungo egoerara.

Bidaia hasi baino lehen, kontzeptu batzuk ulertu behar ditugu: magnitudeak, objektuetan neurtu eta kuantifikatu ditzakegun ezaugarriak dira (luzera, masa, denbora...); unitateak, aldez aurretik adostutako erreferentziak dira, magnitudeak neurtzeko balio digutenak (metroa, kilogramoa, segundoa...);

Antzinako zibilizazioetan, gizakiek neurketak egiteko euren gorputza erabiltzen zuten. Hala, Egiptoko piramideak zehaztasun osoz eraiki ahal izateko kubitua erabiltzen zuten, hau da, erdiko behatzetik ukondoraino doan distantzia. Noski, faraoiaren besoa eredu bezala hartuz.

Egiptoko piramideak, neurketa zehatzekin eraikiak

Piramideez gain, lursailak neurtzeko beharra ere bazeukaten. Nilo ibaiak urtero inguruko lurraldeak urpean uzten zituen, eta ondoren berriz mugak ezartzeko, neurketak egin behar zituzten.

Mendeetan zehar aurrerago, babiloniarrek, antzinako greziarrek eta erromatarrek ere, neurketak egiteko patroi ezagun bat erabiltzen zuten: haien gorputza. Hazbetea neurri txikietarako, esku-zabala neurketa ertainetarako, oinak leku handiak neurtzeko... Baina noren gorputzarenak? Hartutako pertsonaren arabera, oinaren luzera desberdina izango baitzen, Europan Erdi Aroan eskualdeko erregearen oina hartzen zen eredu gisa.

Gorputzean oinarritutako neurketa batzuk

Honek arazo handiak ematen zituen, merkataritzan toki ezberdinetako neurriak hartzen baldin baziren, kantitateak bat ez zetozelako. Ez hori bakarrik, erregea hiltzen zenean, erresumako neurri guztiak aldatu behar ziren. Zelako lana!

1791. urtean aldaketa garrantzitsu bat gertatu zuen: sistema metriko hamartarra jaio zen, eta honek mundua neurtzeko modua goitik behera aldatuko zuen. Guztiontzako neurri berdinak hartuko ziren, haien artean Frantziako Zientzien Akademiak luzera unitate gisa metroa ezarri zuen (Parisetik igarotzen den meridiano laurdenaren hamarmiloirena), eta garai hartan ere Lavoisier kimikariak kilogramoa definitu zuen (dezimetro kubiko bat uren masa, presio eta tenperatura baldintza zehatzetan).

Metroaren definizioa, Pariseko meridianoaren arabera

Ondoren, 1875. urtea funtsezkoa izan zen: hainbat herrialdek Metroaren Tratatua sinatu zuten, sistema metrikoa zabaldu eta hobetzeko. Herrialdeen ordezkariak lau urtetan behin elkartzen ziren. Hala eta guztiz ere, beste herrialde batzuek ez zuten sistema hori erabili nahi izan. Adibidez, Brasilen merkatariek pentsatzen zuten kilogramoa erabiliz haiek dirua galtzen aterako zirela, eta ontza edo kintala bezalako unitateak erabiltzen jarraitzea nahiago zuten. 

 

Urteak aurrera igaro ahala, metroaren eta gainontzeko unitateen definizioak aldatuz eta hobetuz joan ziren. Metroak definizio desberdinak hartu zituen: hasiera batean Lurraren meridianoaren zatitxo bat zen, ondoren metalezko makil baten luzera izango zen eta azkenik, argiaren abiaduraren arabera zehaztu zen. Hainbeste aldaketa zertarako? Sistema egonkor eta unibertsala lortzeko asmoz.

 

1960. urtean, beste aurrerapausu nabarmena eman zen: Unitateen Sistema Internazionala sortu zen, herrialde askoren artean adosteko zeintzuk izango ziren mundu osoan erabilitako unitateak eta patroiak.

 

Unitateen Sistema Internazionala. 7 oinarrizko magnitudeak

 

 

Hala eta guztiz ere, zenbait herrialdetan oraindik ere ez dute sistema hori erabili nahi, eta aspaldiko sistema ingelesa erabiltzen jarraitzen dute. Esaterako, luzera neurtzeko hazbetea edo pulgada (1 in = 2'54 cm), oina (1 ft = 30'48 cm), yarda (1 yd = 91'44 cm) eta milia (1 mi = 1'609 km) erabiltzen dituzte, besteak beste. Masaren kasuan ontza (1 oz = 28'3 g) eta libra (453'6 g). Edukierarako, aldiz, ontza likidoa (1 fl oz = 29'5 mL), pinta (1 pt = 473 mL) eta galoia (3'78 L). Unitate hauetako batzuk seguraski aski ezagunak izango dituzu: zertan neurtzen da mugikorren edo telebisten pantailaren tamaina?

Pixkanaka magnitude gehiago aztertuko ziren, eta neurketa tresnak ere gero eta sofistikatuagoak izango ziren. Gaur egun, unitateak ezartzeko eta konparaketak egiteko objektuak erabili ordez (makilak, pisuak, erregelak...), horren ordez konstante fisikoak erabiltzen dira (esaterako, argiaren abiadura), denboran zehar askoz iraunkorragoak direlako.

Zer nolako matematika egiten zen duela 4000 urte?

Galdera honi erantzuteko, ekialderuntz 5000 km-ko bidaia egin behar dugu.

Mesopotamiako mapa, garaiz garai

Bertan, topatuko dugun lehendabiziko informazio iturria buztinezko taulak dira. K.a. IV milurtekoaren inguruan zibilizazio emankor bat egon zen, Tigris eta Eufrates ibaien inguruan, gaurko Irak eta Iran arteko zonaldean: Mesopotamia. Haien idazketa metodoa oso bitxia eta aldi berean iraunkorra izan zen: buztinean puntzoi batzuekin markak egin ondoren (idazkera kuneiforme izenekoa), buztina egosi edo eguzkitan lehortzen uzten zuten gogortu arte, eta honi esker iritsi zaizkigu dokumentu esanguratsu hauek gure eskuetara milaka urte igaro arren.

Berreskuratu diren taula babiloniko gehienak K.a. 1800-1600 urteen artekoak dira, eta aztarnategi guztiak kontuan hartuta, milaka taula bildu ahal izan dira. Altxor preziatua!

Buztinezko taula horien artean aipagarrienetakoa bat Plimpton 322 izenekoa da. K.a. 1800. urte ingurukoa omen da. 13 cm inguru neurtzen du eta bertan zenbaki multzo bat agertzen da (ikusi beheko irudia), lau zutabe eta 15 errenkadatan banatuta. Ondoren interpretatu denez, Pitagorasen teorema betetzen duten zenbaki-hirukoteak dira, babiloniarren zenbaki sistema hirurogeitarrean idatzita eta lehen aipatutako idazkera kuneiformean.

Plimpton 322 izeneko buztinezko taulatxoa eta bere interpretazioa

Egiptoko piramideak

Urteetan zehar aurrerago egiten badugu, eta mapan pixka bat mendebalderago, Antzinako Egiptoko zibilizazioa aurkituko dugu. Haiek buztina erabili ordez papiroa erabiltzen zuten, beraz, dokumentuak ezin izan dira hain ongi mantendu.



K.a. 1650. urte ingurukoa da papiroen artean famatuena: Ahmes-en papiroa (dokumentua idatzi zuen izkribuaren omenean) edo Rhind papiroa (dokumentua Egiptoko merkatu batean erostea lortu zuen pertsonaren omenean). 6 metroko luzera duen papiroa da eta hieratikoan idatzita dago (idazkera jeroglifikoa baino pixka bat sinpleago, eta zenbaki sistema hamartarra erabiliz). Bertan 84 buruketako sorta aurki dezakegu; pentsa, gaur egungo matematikako testu-liburu bat balitz bezala, problemaz jositako dokumentu bat.

Ahmes-en papiroa

Nola edo hala, papiro honi esker badakigu Antzinako egipziarrek zer nolako matematika ezagutzen zuten. Errealitateko egoeren buruketa horietan, batuketak, zatikien arteko eragiketak, lehen mailako ekuazioak, triangelu edota trapezioen azalerak, zirkuluen azalerak edota piramideen bolumenak kalkulatzen dira, besteak beste. Anima zaitez, eta ordezkatu zure ohiko testu liburua une batez Ahmes-en papiroarengatik: oso buruketa kuriosoak topatuko dituzu hemen. Arreta jartzen badiozu buruketa horietako baten ebazpen korapilatsuari, ikusiko duzu zer lana zeukaten garaiko ikasle gizajoek!

Eskerrik asko: Clifford A. Pickover, Carl B. Boyer