Zenbaki lehenen misterio askaezina

Zenbaki lehenak eskolan aipatzen dizkiguten zenbaki berezi batzuk dira, baina, zein da haien garrantzia? Zergatik ikasi behar? Zein da haien historia eta misterioa? Hurrengo lerroetan aurkituko dituzu galdera hauen erantzunak.

Zer dira zenbaki lehenak?

Zenbaki lehenak soilik bi zatitzaile dituzten zenbakiak dira: 1 eta bere burua. Hortaz, hauexek ditugu lehendabiziko zenbaki lehenak: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23... Kimikan atomoak diren bezalaxe, matematikan zenbaki lehenak dauzkagu, gainontzeko zenbaki guztiak lortzeko balio diguten partikula deskonposaezinak direlako. Hortaz, gainontzeak zenbaki lehenen biderkaduratik abiatuz lortzen dira, hau da, zenbaki konposatuak: 3·5=15; 2·3·7= 42.

Eta ez hori bakarrik!!! 1 baino handiagoa den edozein zenbaki arrunt lortzeko, zenbaki lehenak modu bakarrean biderkatuz egiten da. Hau da Alexandriako Euklides-ek K.a. 300. urtearen inguruan bere Elementuak liburuan idatzi zuen esaldietako bat, eta gaur egun "Aritmetikaren oinarrizko teorema" izen potoloarekin ezagutzen dena. Horretaz gain, Euklidesek ere demostratu zuen infinitu zenbaki lehen daudela.

Nola lortzen dira?

Zoritxarrez, zenbaki lehenek ez dute inongo irizpiderik jarraitzen eta haiek aurkitzea ez da lan erraza. Hauxe izan da historian zehar matematikarien buruhauste handienetako bat: zenbaki lehenak lortzeko formula edo jarraibide bat aurkitzea.

Euklidesen garai berean, lehendabizikoa K.a. 230.ean Eratostenes Cirene-koa izan zen: zenbaki lehenen bahea izeneko tresna sortu zuen; zuk ere eraiki dezakezu ondoko argibideei jarraituz! Batetik ehunerako taula bat hartzen badugu, hasteko, 2-ren multiplo guztiak ezabatu behar dira (hauek ez baitziren izango lehenak), ondoren 3-ren multiploak, gero 5-en multiploak...eta ezabatu gabe gelditutakoak izango ziren lehenak. 

 

Zenbaki lehenak (Matematika gertutik kanala)

 

Ohartzen bazara, bahea lortzeko lehenengo 10 zenbakietara iristearekin nahikoa da, 100en erro karratua. Orokorrean, edozein N zenbaki baino txikiagoak diren lehenak lortzeko, N-ren erro karratura iristearekin nahikoa litzateke. Metodo hau sortu zenetik 2000 urte beranduago oraindik ere erabiltzen jarraitzen da, zenbaki lehen txikiak lortzeko (kontuz, ez gaizki ulertu, hamar mila milioi zenbakia baino txikiagoak!).

XVII. mendera jauzi egiten badugu, Mersenne filosofo frantsesa aurkitzen dugu. 1641. urteko obran zenbaki lehen batzuk aurkitzeko formula bat ezarri eta lehenen propietate batzuk ere azaldu zituen. Garai eta toki berean Pierre de Fermat matematikari ospetsua; XVIII-XIX. mendean Sophie Germain matematikaria...

Zenbat zenbaki lehen daude?

1 eta 100-en artean zenbaki lehen gehiago daude 101 eta 200 artean baino. Beraz, zenbakiak handitzerakoan gero eta zenbaki lehen gutxiago baldin badaude, orduan... noizbait bukatuko dira? Erantzuna emateko berriz ere Euklides. Berak jarraibide matematiko bat erabiliz infinitu daudela demostratu zuen.

Zertan erabiltzen dira?

Gaur egun zenbaki lehenen erabilera ezagunenetako bat kriptografia da, hau da, mezu sekretuak kodetzeko tresna, adibidez web orrialde baten bitartez diru transferentziak egin nahi ditugunean (kode hauei buruzko informazio gehiagorako, egin klik hemen).

Hala eta guztiz ere, gehien harritzen nauen erabilera naturan dago eta K.a. milioi bat urte ingurutik datorkigu: txitxarrak. Garai hartatik datorkigun txitxar mota batek lurpean igarotzen du ia bere bizitza osoa, eta soilik 13 edo 17 urtetik behin ateratzen da ugaldu eta hil arte. Zergatik ez du egiten, adibidez, 12 urtetik behin? Erantzuna benetan zentzuduna da: bere zikloa 12 urtekoa balitz, haren harrapariak 2, 3, 4 edo 6 urteko ziklokoak izan zitezkeelako, aldiz 13 urtekoa izanik, zeintzuk dira aukerak? Mirari honen atzean dagoen kontzeptu matematikoari buruz hausnartzera animatzen zaitut.

Ebatzi gabeko misterioak

1742. urtean Goldbach matematikariak bere aierua formulatu zuen: "2 baino handiagoa den edozein zenbaki bikoiti, bi zenbaki lehenen batura gisa idatz daiteke". Adibidez: 42 = 5 + 37 da. Zenbakiak infinituak direnez, aierua baieztatzea lan zaila da; 1966. urtean Chen Jingrun txinatarra aierua ebaztear egon zen, baina oraindik ez da erabat lortu. Golbach-en aieru honi buruzko istorio bat ezagutu nahi baduzu, "La habitación de Fermat" pelikula interesgarria ikus dezakezu.

Ikusi ahal izan duzuenez, zenbaki lehenen mundua ebatzi gabeko misterioez inguratuta dago, eta mezu honetan kontatutakoa laburpen bat besterik ez da. Ikertu zuk zeuk mundu hau, gustoko baldin baduzu, Marcus du Satoy matematikariaren laguntzaz:

Iturri nagusia: Javier Duoandikoetxea-ren zenbaki lehenei buruzko dokumentua. Beste iturri batzuk: Clifford A. Pickover. Enrique Gracián

Euklidesen "Elementuak": geometriako bilduma elkarlanean

Euklides (K.a.325-265 inguru), Egiptoko Alexandria hirian bizi izan zen matematikari greziarra izan zen. Bere lorpenik handiena matematikako libururik ospetsuena idaztea izan zen: Elementuak izenekoa, geometriari buruzkoa. Bi mila urte baino gehiagotan zehar erabili izan da! Nola da posible duela 2000 urte baino gehiago aurkitutako ezagutzek gaur egun ere balio izatea? Hurrengo lerroetan aurkituko duzu erantzuna.

K.a. 300. urtearen inguruan Euklidesek ordura arteko geometriari buruzko ezagutza guztia biltzea erabaki zuen. Beraz, bere liburuko aurkikuntzak ez dira denak bereak! Hain zuzen ere kontrakoa: garai hartako matematikari greziarren ezagutzak agertzen dira bertan.

Elementuen bertsio zaharra, wikiwand.com-etik

 

 

 

Zeintzuk dira bertan agertzen diren gaiak? Geometria laua, zenbakien teoria, algebra eta geometria solidoari buruz hitz egiten duen arren, atalik aipagarriena geometria lauari dagokiona da. Bertan, teoria guztia soilik oinarrizko bost axiometatik abiatuz garatzen du (axiomak frogatu gabeko baina agerian geratzen diren oinarrizko esaldiak dira), eta horri esker izan da bere obra hainbeste urtetan zehar onartua:

1. Edozein bi puntu zuzen bakar baten bitartez lotu daitezke.
2. Edozein zuzenki, zuzen batera luza daiteke.
3. Zirkulu bat edozein zentru eta edozein erradiorekin marraztu daiteke.
4. Angelu zuzen guztiak berdinak dira haien artean.
5. Puntu bat eta zuzen bat izanik, puntu horretatik igarotzen den eta zuzenarekiko paraleloa den zuzen bakar bat marraztu daiteke.

Beno ba, harrigarria badirudi ere, axioma hauek bi mila urtetan zehar baliogarriak izan direnez, Euklidesen gainontzeko demostrazioak ere izan dira onargarriak haiekin batera. Baina... noiz arte? XIX. mendean beste matematikari batzuek 5. axioma horren kontrakoa frogatu zuten arte. Hortaz, ordura artekoari geometria euklidearra deitu zitzaion, eta bertan agertutako berriei geometria ez euklidearrak (esaterako, geometria esferikoa edo hiperbolikoa).

Eta nola aurkitu izan da liburua? Zoritxarrez, Euklidesek papiroetan idatziko zuen bere obra, eta dakigunez, hauek oso hauskorrak dira. Nahiz eta papiro original haietako batzuk oraindik mantendu (hiri zahar bateko zaborretan aurkitua, pentsa!), bere obra osoa K.o. IX. mendeko itzulpen baten bitartez iritsi zaigu.

Oxirrinco-ko papiro originala

Hau guztia jakinda, zein da Euklidesen meritua? Bere obra berezia egiten duena da, frogan oinarritutako matematikaren adibiderik zaharrena direla. Gainera, bere garaiko ezagutza matematiko guztiak biltzea lortu zuen, eta informazio hori guztia egitura logiko baten bidez antolatu zuen. Garai hartan ez zegoen Internetik!

Eskerrik asko: Anne Rooney, Clifford A. Pickover. Hemen aurkeztutako informazioa laburpen bat besterik ez da. Gehiago jakin nahi baduzu, joan zaitez orri honetara.

Soilik bost poliedro erregular?

Bi kontzeptu argi izan behar ditugu hasieratik:

• Poliedroa: aurpegi gisa poligonoak dituen hiru dimentsioko irudi mugatua da. 
• Poliedro erregularra: aurpegi guztiak berdinak eta erregularrak dituen poliedroa da (aldeberdinak eta angeluberdinak). Horretaz gain, poliedro erregular baten erpin guztietan aurpegi kopuru berdina elkartzen da.

Jakinda zer den poliedro erregular bat, osotara, zenbat poliedro erregular existituko direla uste duzu? Hasiera batean kopuru handi bat datorkigu burura, baina soilik bost existitzen dira! Nola da posible hau?

K.a. IV. mendeko Atenas-ko Teeteto izan omen zen bost solido platoniko hauen deskribapen osoa eman zuen lehendabiziko matematikaria. Solido platonikoak? Zergatik orain Platonen izena? Ez al ziren izan beharko Teetetoren solidoak? Batzuetan historia bidegabekoa da, eta kasu honetan Platonek ez zituen poliedro horiek aurkitu; berak soilik ospetsu bihurtu zituen unibertsoarekin zerikusia zuen teoriaren bitartez.

Platonen ustez, K.a. 350. urtearen inguruan idatzitako bere Timeo obran, geometria unibertsoa ulertzeko gakoa zela zioen. Obra horretan unibertso osoa bost poliedro erregularren bidez adierazia zegoela zioen: tetraedroa sua (agian bere ertzen itxura zorrotzaren erruz), kuboa lurra (bere itxura egonkorragatik), oktaedroa airea, dodekaedroa unibertsoa (bere ustetan Jainkoak hala antolatu zituelako zeruko konstelazioak) eta ikosaedroa ura (ziurrenik bere itxura borobilagoagatik, ez hain zorrotza).

Halere, Euklides (Alexandria, IV-III. mendeak) matematikariari zor diogu existentzia mugatu honen lehen demostrazioa bere Elementuak obran. Ongi ulertu nahi baduzu, arretaz irakurri beharko duzu:

1. Erpin bakoitzak hiru aurpegi elkartu beharko ditu gutxienez (batekin ezin dugu poliedro bat osatu, eta bi aurpegi elkartuz ertz bat izango dugu, eta ez erpin bat).
2. Erpin batetik poliedro bat osatu ahal izateko, angeluen batuera 360 gradu baino txikiagoa izan beharko da, bestela plano bat osatuko genukeelako.
3. Beraz, gutxienez hiru angelu egon behar direnez, angelu bakoitzak 360/3 = 120 gradu baino gutxiago neurtu beharko du.
4. Aurreko baldintza betetzeko erabili ditzakegun poligonoak (aurpegiak) gehienez 5 aldekoak izan beharko dira, 6 aldeko poligono batek dagoeneko 120 graduak osatzen dituelako aldeen artean.
5. Ondorioz, soilik bost kasu egongo dira:

• Aurpegi triangeluarrak: 60 gradu dituztenez, soilik 3, 4 edo 5 triangelu elkartu ahalko dira erpin batean, tetraedroa, oktaedroa eta ikosaedroa osatuz, hurrenez hurren. 6 edo gehiago izanik, 360 gradu edo gehiago izango ditugu.
•  Aurpegi karratuak: 90 gradu dituztenez, soilik 3 karratu elkartu daitezke, 4rekin 360ra iristen garelako. Hortaz, kuboa da aukera bakarra.
• Aurpegi pentagonalak: 108 gradu dituztenez, soilik 3 pentagono elkartu ahalko ditugu 360 graduak ez gainditzeko. Beraz, dodekaedroa da aukera bakarra.

Azkenik, Leonhard Euler izeneko matematikari eta fisikari suitzar emankorra aurki dezakegu ildo honetatik. Lehenik eta behin, poliedro ganbil baten baldintza zein den argitu behar dugu: barne erpinak elkartzen dituzten zuzenki guztiak, poliedroaren barruan gelditzen dira. Berak, 1751. urtean, edozein poliedro ganbilen elementuak erlazionatzen dituen formula ezagun bat demostratu zuen:

            Aurpegiak + Erpinak = Ertzak + 2

Ondoko taula behatzen baduzu, aurreko Eulerren formula solido platonikoetan egiaztatu egiten dela:

Eskerrik asko: Clifford A. Pickover, Carlos Quesada, Mickaël Launay