Zenbaki irudikariak. Izenak esaten du dena

1 zenbakiaren erro karratua 1 da, baina zenbat da -1 zenbakiaren erro karratua? Zein da ber bi eginez -1 aterako den zenbakia? Ikasi dugun bezala, ber bi eginez zenbaki guztiak positibo egiten dira. Orduan, nola konpondu egoera hau?

Zenbaki negatiboen erro karratuekin Cardanok egin zuen topo lehendabiziko aldiz 1545.ean, bere Ars Magna liburuan  3. eta 4. mailako ekuazioen ebazpena azaltzen ari zenean: "banatu 10 bi zatitan, haien arteko biderkadurak 40 emango duelarik". Berak ez zituen oraindik zenbaki gisa onartu, baina behintzat zioen "oinaze handirik gabe, bi soluzioen arteko biderkadurak 40 ematen duela ikus dezakegu"  $$x·\left( 10-x \right) =40\\ \\ { x }_{ 1 }=5+\sqrt { -15 } \\ { x }_{ 2 }=5-\sqrt { -15 } \\ \\ \left( 5+\sqrt { -15 }  \right) \left( 5-\sqrt { -15 }  \right) =25-\left( -15 \right) =40$$ 

 

Urteetan zehar matematikariek ezin zuten konpondu egoera hau, 1572.ean Rafael Bombelli ingeniari italiarrak  -1en erro karratua zenbaki gisa kontutan hartu zuen arte. Matematikari askok ez zituzten erabat onartu; are gehiago, Descartesek mespretxuarekin deitu zien zenbaki irudikariak. 1777. urtean Eulerrek i zenbakiarekin izendatu zuen  irudikari hitzaren lehendabiziko hizkia hartuz:

i zenbakia

 

Baina zenbaki gisa onartu ondoren, nola kokatu zuzen errealean? 1673.ean John Wallis-ek zenbaki konplexu bakoitzari planoko puntu bat egokitu zion: ardatz batean zati erreala eta beste ardatzean zati irudikaria. Ondoren 1806an Jean Robert Argand matematikari suitzarrak horrelaxe adierazi zituen:

Plano konplexua

 

W.R. Hamilton-ek, aldiz, ez zuen beharrezkoa izan i erabiltzea, nahikoa baitzen (a,b) pare ordenatuarekin. Modu batean ala bestean, benetan ikusgarriak diren irudi geometrikoak sor daitezke zenbaki konplexuak erabiliz. Esaterako, 1980. urtean Mandelbrot-ek beheko irudia azaldu zuen, formula sinple batean zenbaki konplexuak ordezkatuz; ondoko bideoan ikus daiteke nola sortu irudi zoragarri hau GeoGebra softwarea erabiliz: $${ z }_{ n+1 }={ z }_{ n }^{ 2 }+c$$

Mandelbrot-en multzoa

 

Arraroa badirudi ere, gaur egungo aurrerakuntza asko ez ziren izango posible zenbaki irudikariak gabe: korronte alternoa, erlatibitatearen teoria, seinale prozesaketa edo fluidoen mekanikan, beste batzuen artean.

Eskerrik asko: Tony Crilly, Ian Stewart, Clifford A. Pickover. Informazio gehiago aurki dezakezu Rafael Andres Alemañ http://es.slideshare.net/raalbeautor/numeros-complejos ikertzailearen diapositibetan.

Tirabirak ekuazioen soluzioak aurkitzeagatik

Bigarren mailako ekuazio polinomikoen ebazpena antzinatik ezagutzen dela badakigu, eta gainera eskolan erakusten den ebazpen ospetsuenetako bat da. Baina zer dakigu 3. maila eta goragoko ekuazioen inguruan? Abentura honetan Berpizkundeko bi italiar aurkitzen ditugu: Niccolò Fontana (Tartaglia ezizenarekin ezaguna, haren toteltasuna zela eta) eta Girolamo Cardano, biak XVI. mendekoak. Haien izan ziren matematikarien arteko borroka ezagunenetako baten protagonistak, ondorengo lerroetan jabetuko zaren bezala.

1545. urtea erabakigarria bihurtu zen algebraren munduan, orduan argitaratu baitzituen Cardanok 3. eta 4. mailako ekuazio polinomikoen soluzioak bere Ars Magna izeneko liburuan. Baina.... berak ez zuen bat ere lortu!!! 3. mailako ekuazioak ebazteko formula aurretik Tartagliak lortu zuen, baina badirudi Cardanori kontatu ziola honek gero argitaratuko ez zuela konpromezua hartuz. A ze konpromezua! Orduz geroztik bien arteko liskarra eta haserrea galanta izan zen. Eta 4. mailako ekuazioen ebazpena ere Ludovico Ferrari bere idazkariak aurkitu zuen. Harrigarria!

Zergatik orduan egin zuen hau Cardanok? Bera eta bere idazkariari, haien aldetik 4. mailako ekuazioekin lanean zeudelarik, oso aproposa iruditu zitzaien Tartagliak bere soluzioa ematea haien lanarekin aurrerapen handiagoak egin ahal izateko. Dena den, jarri ahalko zenituzke zure izenpean beste norbaitek lortutako aurkikuntzak? Batak ala besteak, 3. eta 4. mailako ekuazioak ebazteko formulak aurkitu egin zituzten, erabiltzeko errazegiak ez baziren ere (horrexegatik ez ditugu ipiniko hemen; zuk zeuk ikertu nahi baduzu, animatzen zaitut).

Niels Abel

Eta zer gertatzen zen 5. maila edo goragoko ekuazio orokorrekin? XVI. mendetik aurrera matematikariak jo ta ke ibili ziren ebazpen horren bila, baina ez zen izan 1824. urtera arte Niels Abel gazteak (soilik 19 urterekin) emaitza lortu zuenean. Eta hara non ustekabea: ez zegoen formularik!!! Abel-ek demostratu zuen ez zela posible topatzea 5. maila edo goragoko ekuazio orokorrak ebazteko formula algebraikorik.

Espero al zenuen hau? Garaiko matematikariek ez, eta horrexegatik haietako batzuek oraindik jarraitu zuten XIX. mendean zehar soluzio desiratuaren bila.

Eskerrik asko: Carl B. Boyer, Tony Crilly,