π, munduko zenbakirik ospetsuena

Pi zenbakia zirkulu baten perimetroa eta diametroaren arteko zatiketa da. Berdin da zein den zirkuluaren tamaina, handia ala txikia pi beti berdina da. Froga ezazu hari bat eta erregela erabiliz, pi-ren hurbilketa bat lortuko duzu eta.

Zergatik pi izena? π ikurra William Jones-ek barneratu zuen 1706. urtean, ondoren Eulerrek zabaldu zuelarik. Ikurra grekeraz periferia eta perimetro hitzen lehendabiziko hizkitik dator: περιφέρεια (periferia) , περίμετρον (perimetro).

Baina zenbat da pi zehazki? Ondoko bideoko bi neskena zuri ez gertatzeko, irakurri arretaz pi-ri buruz kontatzen dizudana.

Pi gero eta zehatzago historian zehar

Ziurrenik, jadanik Antzinaroan jabetu ziren perimetroa eta diametroaren arteko erlazioaz, edozein tamainako gurpilak bira bat egitean gutxi gorabehera hiru aldiz diametroko luzera egiten zuelako.

Mankala jokuaren pauso bat

Pi-ren historia egipziarrekin hasten da, matematiken kontzeptu asko bezala. K.a. 1650 inguruko Rhind papiroan zirkuluen azalera kalkulatzen bazekitela egiaztatzen da, baina harrigarriena kalkulu horren zehaztasunean dago. Teoria batek dio Mankala jokuaren erabileran dagoela aurkikuntza honen jatorria. Esaten da seguruenik monjeak honetara jolasten zeudela, konturatu zirela honetaz: aldea 8-koa duen karratu baten azalera, diametroa 9-koa duen zirkulu baten azaleraren antzekoa da. Bi hauen azalerak erlazionatuz, saia zaitez zu zeu lortzen pi-ren balioa (3'16 inguruko balioa lortu zuten egipziarrek).

Hala eta guztiz ere, Grezia klasikoan dugu pi-ren teoria sakonago bat. K.a. 225. urtearen inguruan Arkimedes Sirakusakoa matematikari, fisikari eta astronomo ospetsuak pi-ren balioa mugatu egin zuen, aldi berean mende batzuk geroago funtsezkoa izango zen metodo bat erabiliz: exhauzio metodoa. Zirkunferentziaren perimetroa modu zehatzean kalkulatzeko bi hexagono marraztu zituen, bata zirkunferentziaren barrualdea ukitzen (hexagono inskribatua) eta bestea kanpoaldea ukitzen (hexagono zirkunskribatua). Hexagonoaren perimetroa era zehatzean kalkula daitekeenez, Arkimedesek nahikoa zuen bi hexagonoen perimetroa kalkulatzearekin zirkunferentziaren perimetroa ze bi balioaren artean zegoen esateko.

Arkimedes Sirakusakoa eta pi-ren hurbilketa

Gero eta alde gehiago eduki marraztutako poligonoak, orduan eta zehaztasun gehiagorekin eman zitekeen pi-ren balioa. Hori dela eta, Arkimedes 6 aldeko poligonoarekin hasi zen arren, alde kopurua bikoizten joan zen 96 aldeko poligonoa erabili arte. Metodo honen bitartez, irudian agertzen diren bi balioetara iritsi zen.

Egipto, Grezia eta gero Txinako pentsalariek honetan jardun zuten, baina XII. mendetik aurrera, gaur egungo zenbakikuntza sistemarekin batera asko erraztu zen pi-ren balioa lortzeko kalkulua, eta zer esan lehendabiziko ordenagailuak agertu zirenetik!!! 

Denok uste dugunez, pi zenbakiaren erabilera praktikoa zirkuluen kalkuluetan dago, baina arraroa badirudi ere, 1673. urtean Leibnitz matematikariak pi zirkuluetatik urrundu eta zatikien serie infinitu batekin lotu zuen (ea zuk zeuk lortzen duzun segida horren gai orokorra):

Pi-ri buruz hitz egin dugu dagoeneko, baina zein da zenbaki hori? Zenbat hamartar ditu? Lehen ordenagailuekin zifra asko lortu direla badakigu, baina zifra kopurua amaiezina da, patroi errepikakorrik gabeko infinitu zifra baititu. 1761. urtean Lambert matematikariak demostratu zuen pi zenbakia irrazionala dela (ezin dela bi zenbaki osoren arteko zatiketa eran adierazi, eta infinitu hamartar ez periodikoak dituela), eta 1882. urtean Lindemann matematikariak pi transzendentea dela, hau da, ekuazio polinomikoen soluzioa ez dela.

Zertarako balio digu π zenbakiak? 

Lehenengo ordenagailua asmatu zenetik pi-ren zifra hamartar asko lortu dira, gaur egun bilioi bat zifra inguru ezagutzen direlarik. Hala eta guztiz ere, pi-ren zifra gutxirekin nahikoa izaten da kalkulu zehatzak egiteko.  Orduan, zertarako behar ditugu jakin hainbeste zifra? Adibidez, ordenagailu batek pi-ren zifrak lortzen ematen duen abiadura erabiltzen da ordenagailu horren trebezia konputazionala neurtzeko.

Hala ere, oraindik ez baduzu argi zergatik den hain garrantzitsua zenbaki hau, hona hemen bere agerpenen zerrenda txiki bat:

• Geometrian: zirkuluaren perimetro eta azaleran, gorputz biribilen azalera eta bolumenetan (zilindroan, konoan, esferan)...
• Kalkuluan: astroide, zikloide, kardioide eta Arkimedesen espiralak sortzen duten azalera zatietan.
• Analisian: serie infinituetan, Gauss kanpaian, Eulerren identitatean, etab.
• Eta baita probabilitatean ere!

Ikaragarria ezta? Eta zenbaezinak dira ere zenbaki honi buruzko kuriositateak, haren lehen zifrak gogora ekartzeko asmatu diren tramankulu eta tresnak bezala: abestien letrak, zifren koloreak, musika zifrekin... zuk zeuk azter dezakezu mundu miragarri hau zure kabuz. Akira Haraguchi injeniari japoniarra gai izan zen 2006. urtean pi zenbakiaren lehen 100 000 zifrak buruz esateko, 20 ordu inguru behar izan zituelarik!!!

Eskerrik asko Tony Crilly, Marcus du Satoy, Lolita Brain.

Kolore adina zenbaki

Zenbat zenbaki mota ezagutzen dituzu? Historian zehar, beharren arabera, gizakiak zenbaki multzo ezberdinak aurkitu ditu:

Zenbaki arruntak

 

Haur txikiak garenean zenbaki arruntak dira ikasten ditugun lehendabizikoak, kantitateak adierazteko aukera ematen digutenak: 1, 2, 3, 4... Hauek izan ziren, hain zuzen ere, historian zehar lehenengo aldiz erabili ziren zenbakiak, gizakiak bere ingurunearekin harremanetan jartzeko beharretik abiatuta: artaldean zegoen ardi kopurua zenbatzeko, adibidez. Zenbatzeko harriak, makiltxoak, behatzak edota hezurretan egindako markak (K.a. 20000. urte inguruko Ishango-ko hezurrean bezala) egiten zituzten. Hortik datorkigu zenbakien lehen agerpena eta erabilera.

 

La maravillosa historia de los números artikulutik aterata

ko irudia

Zenbaki arrazionalak

Baina nola banatu hiru ogi bi pertsonen artean? Edo nola neurtu patroi baten arabera, kopuru zehatza ez bada? Banaketa proportzionala egiteko edota neurketak egiteko beharra sortu zenean, zenbaki arrazionalak erabiltzeko premia agertu zen (zenbaki arrazionalak bi zenbaki arrunten zatiki eran jarri daitezkeenak dira). Zatikien lehen erabilera idatzia ere egiptoarrei zor diegu. Bizitza arrunteko arazoak konpontzeko sortu ziren: langileei janari eta edariarekin ordaintzen zitzaienez, adibidez 9 ogi puska 10 pertsonei banatzen jakiteko, zatikiak menperatu behar zituzten. Hori bai: soilik zenbakitzailea 1ekoa zuten zatikiak adierazten zituzten.

Antzinako Egipton, nekazal lurraldeen azalerak neurtzeko 1/2 zatikiaren berreturak erabiltzen zituzten, Orus jainkoarekin zerikusia zuen sinbologia berezi baten bitartez: Orus-en begiaren zati bakoitzak zatiki bat adierazten zuen:

 

El ojo de Horus artikulutik ateratako irudia

Ondoren, antzinako greziarrek ere zatikiak erabili izan zituzten, baina oraindik ez zituzten zenbaki bezala onartu, bi zenbakiren arteko proportzio gisa baizik. XV. mendearen bukaerara arte itxoin behar izan zen gaur egun zatikiak adierazteko dugun modua finkatzen hasteko.

Zenbaki negatiboak

Eta, noiz agertu ziren orduan zenbaki negatiboak? Sinestezina badirudi ere, oso berandu onartu ziren zenbakien artean. Zenbaki hauek ez dira objektu kopuruak adierazteko baliogarriak, baina bai erreferentzia baten arabera ordenatzeko: zero azpiko tenperatura adierazteko edota diru-zorrak eta ondasunak adierazteko, esateerako. Lehen aldiz testu txinatar batean agertu ziren: Matematika artearen bederatzi kapituluak (K.a. II - K.o. I). 

 

Blog de apoyo al alumno irudia

 

Dena den, Erdi Aroko matematikari indiarrak (XII. mendeko Brahmagupta eta Bhaskara) izan ziren zenbaki negatiboen arteko eragiketak modu egokian azaldu zituztenak, aurrerago minus ikurra Widmann-ek 1489. urtean lehen aldiz erabili zuen arte. Hala ere, Europako berpizkundean oraindik negatiboak ez ziren onartzen zenbaki bezala (pentsa, XVI. mendean oraindik Michael Stifel alemaniarrak zenbaki zentzugabeak deitzen zituen). Frantziako Albert Girard izan zen ziurrenik XVII. mendetik aurrera zenbaki negatiboak ohiko moduan erabiltzen hasi zena, eta XIX. mendearen hasierara arte ez zen haien aritmetika erabat finkatu (zer berandu!).

Gaur egun ezinbestekoak ditugula badakigu, erreferentzia gisa jokatzen duen elementu batekin konparatu nahi badugu: tenperatura adierazteko, eraikinetako solairuen azpitik daudenak identifikatzeko, diru zorrak adierazteko, etab. Matematikoki, zenbaki arrunt bat eta zenbaki handiago baten arteko kenketa egiteko beharrezkoak suertatzen zaizkigu.

 

Zenbaki irrazionalak

Zenbaki irrazionalei dagokienez, ez dago zalantzarik haien historia bitxia izan zela. Antzinako greziarrak K.a. VI. mendearen inguruan neurri batzuk zatiki moduan adierazi ezin zirela konturatu zirenean agertu ziren.

 

Esaterako, bi zenbakiaren erro karratua aldea unitatea duen karratu baten diagonala ezin zen arrazionala izan (Pitagoras-en teorema aplikatzen baduzue, lortuko duzue zenbaki hau: egin froga!). Bestalde, pi zenbakia, bateko erradioa duen zirkulu baten azalera zein den bilatzen baduzue, aurkituko duzue.

 

Hortik aurrera zenbaki mota berri baten agerpena antzematen hasi zen. Zenbaki irrazionalak bi multzotan banatzen ditugu gaur egun: algebraikoak (ekuazio polinomikoen soluzio direnak: biren erro karratua...) eta transzendenteak (ekuazio polinomikoen soluzio ez direnak: pi, e, phi...). XIX. mendean izan zen Abel, Galois, Hermite eta Liuville zenbaki irrazionalak sakonago ezagutu zituzten garaia.

La guía matemática webgunetik egokitua

Zenbaki konplexuak

Orain arteko guztiak zenbaki errealak dira, baina hauek ez dira nahikoak zenbaki bat bere buruarekin biderkatzean, zenbaki negatibo bat lortu nahi dugunean. Pentsa ezazue: zein zenbaki ber bi eginda emango du - 1? Posible al zenbaki bat bere buruarekin biderkatu ondoren -1 zenbakia lortzea?

 

Hortik suertatzen dira, azkenik, zenbaki konplexuak. XVI. mendeko matematikariak konturatu ziren errotzaile bikoitiko zenbaki negatiboak ezin zirela kalkulatu, eta hortik aurrera, XVII. mendean Leibnitz-ek unitate irudikariaren kontzeptua sartu zuen, gero Eulerrek ikur berezi baten bidez adierazi zuelarik XVIII. mendean:

Hala ere, XIX. mendera arte hurbildu beharra dugu zenbaki konplexuen teoria sakonagoa lortu nahi badugu. Bertan dauzkagu Cauchy, Riemann, Weierstrass, Gauss edo Hamilton bezalako matematikariak, zenbaki konplexuen erabilera finkatu zutenak.

Eta zenbakien nahaste hau guztia berriz ere errepasatu nahi baduzu, Eduardo Saenz de Cabezón matematikariaren ondoko bideoa ikustera gonbidatzen zaitut. Zorte on bidaia zoragarri honetan!

Eskerrik asko: Anne Rooney.