Pitagorikoen elkarte sekretua

Pitagoras, K.a. VI. mendean Greziako Samos irlan jaiotako matematikari, filosofo eta profeta izan zen, erlijio-sinesmenak ere zabaltzen zituelako. Egiptora, Babiloniara eta Indiara bidaiatu zuen, eta bidaia luze horietan matematika eta astronomia ezagutzez gain, erlijio-jakintza handia bereganatu zuen.  Mundu greziarrera itzuli zenean Krotona izeneko hirian finkatu zen (gaur egungo Italian), eta han elkarte sekretu bat sortu zuen, oinarri matematiko eta filosofiko zabalarekin. Pitagorasek sortutako sekta antzeko horretan, ezagutzak eta jabetzak komunitate barruan mantentzen ziren, dena denena zen eta, beraz, egindako aurkikuntzak ez ziren zehazki kide batenak, guztienak baizik. Horregatik, aurkikuntza matematiko bat Pitagorasena dela esan ordez, pitagorikoek lortutakoa dela esatea egokiagoa da.

Pitagorikoak. Eguzki berriari himnoa F. Bronnikov-en margolana. Wikipedia

Pitagorikoek oso jokabide-arau zorrotzak zituzten. Sektako kideei erregimen begetariano zorrotza ezartzen zitzaien, dirudienez beraien ustez pertsonak hil ondoren haien arimak beste animalia batzuengan berraragitzen zirelako eta, ondorioz, hildako lagun baten arimaren bizileku berria izan zitekeen beldurrez, ez zen animaliarik sakrifikatu behar. Hortaz, debekatuta zeukaten haragia edo arraina jatea.

Arimaren irudikapena. Bioguia

Zaila da benetan gizon honi dagokion guztian historia eta kondaira den bereiztea, herriko jendearentzat filosofo, astronomo, matematikari, santu, profeta, azti... hainbeste gauza desberdin zelako. Hala ere, bere garaiko historian eragin handiena izan zuen pertsonetako bat izan zela ezin da ukatu, bere jarraitzaileek (engainatuta edo inspiratuta) bere sinesmenak zabaldu zituztelako greziar munduaren zatirik handienean.

Arima beste norbaitengan agertzea, arau zorrotz eta erritoen bidez lortzen zen, baina filosofia eta matematika ere funtsezko atalak ziren, eta matematikak ez du inoiz jokatu bizitzan pitagorikoen artean bezain paper garrantzitsurik. Badirudi filosofia (jakinduriarekiko maitasuna) eta matematika (ikasten dena) hitzak Pitagorasek bere jarduera intelektualak deskribatzeko sortuak direla. Kontutan hartu behar dugu bi jakintza mota ezberdin zabaltzen zituela: bata eskolako kideen artean eta bestea herriko jendearengan.

Bestalde, pitagorikoentzat zenbaki bakoitzak ezaugarri bereziak zituen, baina guztietan sakratuena hamar zenbakia edo tetractis-a zen, unibertsoaren zenbakia adierazten zuelako. Puntu bakarra dimentsioak sortzen ditu, bi puntuk zuzen bat zehazten dute (dimentsio 1), lerrokatu gabeko hiru puntuk triangelu bat zehazten dute (2 dimentsio), eta plano berekoak ez diren lau puntuk tetraedro bat zehazten dute (3 dimentsia); beraz, zenbaki horien baturak dimentsio guztiak adierazten ditu: 1 + 2 + 3 + 4 = 10.

 

Zenbaki triangeluar batzuk. Site de curiosidades

Eskola pitagorikoaren leloa hauxe zen: "dena zenbakia da". Beraientzat, ezagutu daitezkeen gauza guztiek zenbakia dute, nola edo hala. Historiaren arabera, musikan Pitagorasek zioen bibratzen duen soka bat zenbaki osoen arteko proportzioan zapalduz gero, soinu armoniosoak entzungo zirela. Adibidez: 

- Soka 2:3 proportzioan zapalduta, bostena joko du (oinarria Do baldin bada, Sol entzungo da).- Soka 3:4 proportzioan zapalduta, laugarrena joko du (oinarria Do baldin bada, Fa entzungo da).   Antzinako pitagorikoek hain irudimen ausarta erakutsi zuten, berehala zabaldu zituztela beren emaitzak, eta zeruko gorputzek ere soinu harmoniotsuak igortzen zituztela ondorioztatu zuten. Berriz ere, pentsamendu zorrotzaren eta espekulazio fantastikoaren nahasketa bitxia zen. Argi dago irudimena ez zitzaiela falta!

Esferen musika. Cultura científica

 

Informazio iturria: Carl Boyer-en Historia de la matemática.

Neurririk gabeko mundua

1999ko irailaren 23an, Martitz planetara abiatzen zen Mars Climate espazio-zunda apurtu egin zen. Proiektu hartan inbertitutako 125 milioi dolar bertan behera geratu ziren, baina hori ez zen okerrena. Badakizue zergatik egin zuen talka? Zunda diseinatu zutenean, neurtzeko unitateak kontutan hartu ez zituztelako: Lurretik aginduak metrotan bidaltzen ziren (sistema metriko hamartarra) baina espazio-ontziak miliatan jasotzen zituen (sistema anglosaxoia). 

Historian zehar, hauxe izan da neurketen helburu nagusiena: denok elkar ulertzeko, modu berean neurtzea. Goazen ikustera pausoz pauso nola iritsi garen gaur egungo egoerara.

Bidaia hasi baino lehen, kontzeptu batzuk ulertu behar ditugu: magnitudeak, objektuetan neurtu eta kuantifikatu ditzakegun ezaugarriak dira (luzera, masa, denbora...); unitateak, aldez aurretik adostutako erreferentziak dira, magnitudeak neurtzeko balio digutenak (metroa, kilogramoa, segundoa...);

Antzinako zibilizazioetan, gizakiek neurketak egiteko euren gorputza erabiltzen zuten. Hala, Egiptoko piramideak zehaztasun osoz eraiki ahal izateko kubitua erabiltzen zuten, hau da, erdiko behatzetik ukondoraino doan distantzia. Noski, faraoiaren besoa eredu bezala hartuz.

Egiptoko piramideak, neurketa zehatzekin eraikiak

Piramideez gain, lursailak neurtzeko beharra ere bazeukaten. Nilo ibaiak urtero inguruko lurraldeak urpean uzten zituen, eta ondoren berriz mugak ezartzeko, neurketak egin behar zituzten.

Mendeetan zehar aurrerago, babiloniarrek, antzinako greziarrek eta erromatarrek ere, neurketak egiteko patroi ezagun bat erabiltzen zuten: haien gorputza. Hazbetea neurri txikietarako, esku-zabala neurketa ertainetarako, oinak leku handiak neurtzeko... Baina noren gorputzarenak? Hartutako pertsonaren arabera, oinaren luzera desberdina izango baitzen, Europan Erdi Aroan eskualdeko erregearen oina hartzen zen eredu gisa.

Gorputzean oinarritutako neurketa batzuk

Honek arazo handiak ematen zituen, merkataritzan toki ezberdinetako neurriak hartzen baldin baziren, kantitateak bat ez zetozelako. Ez hori bakarrik, erregea hiltzen zenean, erresumako neurri guztiak aldatu behar ziren. Zelako lana!

1791. urtean aldaketa garrantzitsu bat gertatu zuen: sistema metriko hamartarra jaio zen, eta honek mundua neurtzeko modua goitik behera aldatuko zuen. Guztiontzako neurri berdinak hartuko ziren, haien artean Frantziako Zientzien Akademiak luzera unitate gisa metroa ezarri zuen (Parisetik igarotzen den meridiano laurdenaren hamarmiloirena), eta garai hartan ere Lavoisier kimikariak kilogramoa definitu zuen (dezimetro kubiko bat uren masa, presio eta tenperatura baldintza zehatzetan).

Metroaren definizioa, Pariseko meridianoaren arabera

Ondoren, 1875. urtea funtsezkoa izan zen: hainbat herrialdek Metroaren Tratatua sinatu zuten, sistema metrikoa zabaldu eta hobetzeko. Herrialdeen ordezkariak lau urtetan behin elkartzen ziren. Hala eta guztiz ere, beste herrialde batzuek ez zuten sistema hori erabili nahi izan. Adibidez, Brasilen merkatariek pentsatzen zuten kilogramoa erabiliz haiek dirua galtzen aterako zirela, eta ontza edo kintala bezalako unitateak erabiltzen jarraitzea nahiago zuten. 

 

Urteak aurrera igaro ahala, metroaren eta gainontzeko unitateen definizioak aldatuz eta hobetuz joan ziren. Metroak definizio desberdinak hartu zituen: hasiera batean Lurraren meridianoaren zatitxo bat zen, ondoren metalezko makil baten luzera izango zen eta azkenik, argiaren abiaduraren arabera zehaztu zen. Hainbeste aldaketa zertarako? Sistema egonkor eta unibertsala lortzeko asmoz.

 

1960. urtean, beste aurrerapausu nabarmena eman zen: Unitateen Sistema Internazionala sortu zen, herrialde askoren artean adosteko zeintzuk izango ziren mundu osoan erabilitako unitateak eta patroiak.

 

Unitateen Sistema Internazionala. 7 oinarrizko magnitudeak

 

 

Hala eta guztiz ere, zenbait herrialdetan oraindik ere ez dute sistema hori erabili nahi, eta aspaldiko sistema ingelesa erabiltzen jarraitzen dute. Esaterako, luzera neurtzeko hazbetea edo pulgada (1 in = 2'54 cm), oina (1 ft = 30'48 cm), yarda (1 yd = 91'44 cm) eta milia (1 mi = 1'609 km) erabiltzen dituzte, besteak beste. Masaren kasuan ontza (1 oz = 28'3 g) eta libra (453'6 g). Edukierarako, aldiz, ontza likidoa (1 fl oz = 29'5 mL), pinta (1 pt = 473 mL) eta galoia (3'78 L). Unitate hauetako batzuk seguraski aski ezagunak izango dituzu: zertan neurtzen da mugikorren edo telebisten pantailaren tamaina?

Pixkanaka magnitude gehiago aztertuko ziren, eta neurketa tresnak ere gero eta sofistikatuagoak izango ziren. Gaur egun, unitateak ezartzeko eta konparaketak egiteko objektuak erabili ordez (makilak, pisuak, erregelak...), horren ordez konstante fisikoak erabiltzen dira (esaterako, argiaren abiadura), denboran zehar askoz iraunkorragoak direlako.

Zer nolako matematika egiten zen duela 4000 urte?

Galdera honi erantzuteko, ekialderuntz 5000 km-ko bidaia egin behar dugu.

Mesopotamiako mapa, garaiz garai

Bertan, topatuko dugun lehendabiziko informazio iturria buztinezko taulak dira. K.a. IV milurtekoaren inguruan zibilizazio emankor bat egon zen, Tigris eta Eufrates ibaien inguruan, gaurko Irak eta Iran arteko zonaldean: Mesopotamia. Haien idazketa metodoa oso bitxia eta aldi berean iraunkorra izan zen: buztinean puntzoi batzuekin markak egin ondoren (idazkera kuneiforme izenekoa), buztina egosi edo eguzkitan lehortzen uzten zuten gogortu arte, eta honi esker iritsi zaizkigu dokumentu esanguratsu hauek gure eskuetara milaka urte igaro arren.

Berreskuratu diren taula babiloniko gehienak K.a. 1800-1600 urteen artekoak dira, eta aztarnategi guztiak kontuan hartuta, milaka taula bildu ahal izan dira. Altxor preziatua!

Buztinezko taula horien artean aipagarrienetakoa bat Plimpton 322 izenekoa da. K.a. 1800. urte ingurukoa omen da. 13 cm inguru neurtzen du eta bertan zenbaki multzo bat agertzen da (ikusi beheko irudia), lau zutabe eta 15 errenkadatan banatuta. Ondoren interpretatu denez, Pitagorasen teorema betetzen duten zenbaki-hirukoteak dira, babiloniarren zenbaki sistema hirurogeitarrean idatzita eta lehen aipatutako idazkera kuneiformean.

Plimpton 322 izeneko buztinezko taulatxoa eta bere interpretazioa

Egiptoko piramideak

Urteetan zehar aurrerago egiten badugu, eta mapan pixka bat mendebalderago, Antzinako Egiptoko zibilizazioa aurkituko dugu. Haiek buztina erabili ordez papiroa erabiltzen zuten, beraz, dokumentuak ezin izan dira hain ongi mantendu.



K.a. 1650. urte ingurukoa da papiroen artean famatuena: Ahmes-en papiroa (dokumentua idatzi zuen izkribuaren omenean) edo Rhind papiroa (dokumentua Egiptoko merkatu batean erostea lortu zuen pertsonaren omenean). 6 metroko luzera duen papiroa da eta hieratikoan idatzita dago (idazkera jeroglifikoa baino pixka bat sinpleago, eta zenbaki sistema hamartarra erabiliz). Bertan 84 buruketako sorta aurki dezakegu; pentsa, gaur egungo matematikako testu-liburu bat balitz bezala, problemaz jositako dokumentu bat.

Ahmes-en papiroa

Nola edo hala, papiro honi esker badakigu Antzinako egipziarrek zer nolako matematika ezagutzen zuten. Errealitateko egoeren buruketa horietan, batuketak, zatikien arteko eragiketak, lehen mailako ekuazioak, triangelu edota trapezioen azalerak, zirkuluen azalerak edota piramideen bolumenak kalkulatzen dira, besteak beste. Anima zaitez, eta ordezkatu zure ohiko testu liburua une batez Ahmes-en papiroarengatik: oso buruketa kuriosoak topatuko dituzu hemen. Arreta jartzen badiozu buruketa horietako baten ebazpen korapilatsuari, ikusiko duzu zer lana zeukaten garaiko ikasle gizajoek!

Eskerrik asko: Clifford A. Pickover, Carl B. Boyer

Pitagorasen teorema, ez zuen Pitagorasek aurkitu!

Pitagoras Samoskoa

Maiz entzungo zenuen Pitagorasen teorema, baina zer da teorema bat? Baieztapen edo esaldi bat besterik ez da, beti egia izango dena, froga matematikoak erabiliz hala demostratu delako. Beste modu batera esanda, matematikariei buruhausteak ekarri dizkieten ideia horietakoak, behin kalkuluak eta frogak eginda, betirako lasai uzten dituena.



Eta nor ote zen Pitagoras famatu hori? Greziako Samos irlako gizon bat omen zen (K.a. VI. mendean jaiotakoa), nahiko bitxia dirudienez. Bere bizitzak liburu bat beteko luke, baina orain ez da horretarako momentua.


Hortaz, bi kontzeptu horiek argi utzita, hortxe doa teorema ospetsua: "triangelu zuzen guztietan, hipotenusaren karratua katetoen karratuen baturaren berdina da". Horixe da dena. Gustura geratuko zen gure Pitagoras jauna, ezta? Hipotenusa angelu zuzenaren aurrean dagoen aldea da (luzeena), eta katetoak gainontzeko bi aldeak (motzenak). Karratuak esaten direnean, berbiduraz ari gara.

Esan beharra dago esaldiaren bi norantzak kontutan hartu behar ditugula: alde batetik, triangelu zuzen guztien aldeek beteko dutela formula hori; bestetik, formula hori betetzen duten alde-hirukote guztiek, triangelu zuzen bat osatuko dutela.

Hala eta guztiz ere, oraindik gakoa argitu gabe dugu: izan al zen gizon bitxi hori teorema aurkitu zuena? Merezi al du bere izenak eskola liburu guztietan agertzea? Bera izan zen Antzinako Grezia garaian teoremaren lehenengo demostrazio formala eman zuena (momentu hartako matematikarien helburua dena frogatzea zen), baina teorema milaka urte lehenago ezagutzen zen.

Antzinako Egipton (K.a. 3100. urtearen inguruan), Nilo ibaiaren uholdeen erruz inguruko lursailak urtez urte berriro neurtu behar zituzten. Neurketa horiek egiteko 13 korapiloko soka erabiltzen zen, 3-4-5 aldeak dituen triangelu horrek angelu zuzena ziurtatzen zuelako. Zuk zeuk froga dezakegu ea zenbaki-hirukote horrek Pitagorasen teorema betetzen duen ala ez: 5en karratua, ba al da 3 eta 4ren karratuen baturaren berdina? Egin kalkuluak.

Babiloniako zibiliazioan ere (K.a. 1800. urtearen inguruan), buztinezko tauletan Pitagorasen teorema betetzen zuten zenbaki-hirukote horien adibideak agertzen zaizkigu, ziurrenik irakasleek ikasleei proposaturiko ariketa gisa eta teoremaren kontzientziarik gabe. Hirukote pitagorikoen multiploak ere kontutan har ditzakegu: adibidez, (3,4,5) aldeen triangelua zuzena da, beraz (6,8,10) edo (9, 12, 15) ere izango dira. Aukerak mugagabeak dira.

Hirukote pitagoriko batzuk

  
Txinan K.a. 1000. urtearen inguruan teoremaren ezagupena eta lehen demostrazioa ere aurki ditzakegu, Matematikako artearen lehen bederatzi kapituluak izeneko obran.

Laburbilduz, teorema aldez aurretik ezagutzen bazen ere, Pitagorasi demostrazioaren meritua zor diogu. Ez hori bakarrik! Orduz geroztik, historian zehar demostrazio gehien izan dituen teorema izan da. Adibide gisa,  1940. urtean Loomis-ek teoremaren 367 froga bildu zituen liburu batean. Nork pentsa lezake erlazio berera iristeko hainbeste bide desberdin dauzkagula? Beheko irudian klik eginez, GeoGebra tresnaren bidez demostrazio horietako batzuk aurkituko dituzu, eta horiek eredutzat hartuta, kartulina eta guraizeekin zuk zeuk eraiki dezakezu zeure demostrazioaren puzle propioa. Anima zaitez!

Pitagorasen teoremaren demostrazioetako baten irudia

Eta haratago joan nahi baduzu, zeure tramankulu propioa eraiki dezakezu. Hona hemen beste adibide bat:

Eskerrik asko: Marcus du Satoy, Manuel Sada, Clifford A. Pickover, Anne Rooney.

Euklidesen "Elementuak": geometriako bilduma elkarlanean

Euklides (K.a.325-265 inguru), Egiptoko Alexandria hirian bizi izan zen matematikari greziarra izan zen. Bere lorpenik handiena matematikako libururik ospetsuena idaztea izan zen: Elementuak izenekoa, geometriari buruzkoa. Bi mila urte baino gehiagotan zehar erabili izan da! Nola da posible duela 2000 urte baino gehiago aurkitutako ezagutzek gaur egun ere balio izatea? Hurrengo lerroetan aurkituko duzu erantzuna.

K.a. 300. urtearen inguruan Euklidesek ordura arteko geometriari buruzko ezagutza guztia biltzea erabaki zuen. Beraz, bere liburuko aurkikuntzak ez dira denak bereak! Hain zuzen ere kontrakoa: garai hartako matematikari greziarren ezagutzak agertzen dira bertan.

Elementuen bertsio zaharra, wikiwand.com-etik

 

 

 

Zeintzuk dira bertan agertzen diren gaiak? Geometria laua, zenbakien teoria, algebra eta geometria solidoari buruz hitz egiten duen arren, atalik aipagarriena geometria lauari dagokiona da. Bertan, teoria guztia soilik oinarrizko bost axiometatik abiatuz garatzen du (axiomak frogatu gabeko baina agerian geratzen diren oinarrizko esaldiak dira), eta horri esker izan da bere obra hainbeste urtetan zehar onartua:

1. Edozein bi puntu zuzen bakar baten bitartez lotu daitezke.
2. Edozein zuzenki, zuzen batera luza daiteke.
3. Zirkulu bat edozein zentru eta edozein erradiorekin marraztu daiteke.
4. Angelu zuzen guztiak berdinak dira haien artean.
5. Puntu bat eta zuzen bat izanik, puntu horretatik igarotzen den eta zuzenarekiko paraleloa den zuzen bakar bat marraztu daiteke.

Beno ba, harrigarria badirudi ere, axioma hauek bi mila urtetan zehar baliogarriak izan direnez, Euklidesen gainontzeko demostrazioak ere izan dira onargarriak haiekin batera. Baina... noiz arte? XIX. mendean beste matematikari batzuek 5. axioma horren kontrakoa frogatu zuten arte. Hortaz, ordura artekoari geometria euklidearra deitu zitzaion, eta bertan agertutako berriei geometria ez euklidearrak (esaterako, geometria esferikoa edo hiperbolikoa).

Eta nola aurkitu izan da liburua? Zoritxarrez, Euklidesek papiroetan idatziko zuen bere obra, eta dakigunez, hauek oso hauskorrak dira. Nahiz eta papiro original haietako batzuk oraindik mantendu (hiri zahar bateko zaborretan aurkitua, pentsa!), bere obra osoa K.o. IX. mendeko itzulpen baten bitartez iritsi zaigu.

Oxirrinco-ko papiro originala

Hau guztia jakinda, zein da Euklidesen meritua? Bere obra berezia egiten duena da, frogan oinarritutako matematikaren adibiderik zaharrena direla. Gainera, bere garaiko ezagutza matematiko guztiak biltzea lortu zuen, eta informazio hori guztia egitura logiko baten bidez antolatu zuen. Garai hartan ez zegoen Internetik!

Eskerrik asko: Anne Rooney, Clifford A. Pickover. Hemen aurkeztutako informazioa laburpen bat besterik ez da. Gehiago jakin nahi baduzu, joan zaitez orri honetara.

Soilik bost poliedro erregular?

Bi kontzeptu argi izan behar ditugu hasieratik:

• Poliedroa: aurpegi gisa poligonoak dituen hiru dimentsioko irudi mugatua da. 
• Poliedro erregularra: aurpegi guztiak berdinak eta erregularrak dituen poliedroa da (aldeberdinak eta angeluberdinak). Horretaz gain, poliedro erregular baten erpin guztietan aurpegi kopuru berdina elkartzen da.

Jakinda zer den poliedro erregular bat, osotara, zenbat poliedro erregular existituko direla uste duzu? Hasiera batean kopuru handi bat datorkigu burura, baina soilik bost existitzen dira! Nola da posible hau?

K.a. IV. mendeko Atenas-ko Teeteto izan omen zen bost solido platoniko hauen deskribapen osoa eman zuen lehendabiziko matematikaria. Solido platonikoak? Zergatik orain Platonen izena? Ez al ziren izan beharko Teetetoren solidoak? Batzuetan historia bidegabekoa da, eta kasu honetan Platonek ez zituen poliedro horiek aurkitu; berak soilik ospetsu bihurtu zituen unibertsoarekin zerikusia zuen teoriaren bitartez.

Platonen ustez, K.a. 350. urtearen inguruan idatzitako bere Timeo obran, geometria unibertsoa ulertzeko gakoa zela zioen. Obra horretan unibertso osoa bost poliedro erregularren bidez adierazia zegoela zioen: tetraedroa sua (agian bere ertzen itxura zorrotzaren erruz), kuboa lurra (bere itxura egonkorragatik), oktaedroa airea, dodekaedroa unibertsoa (bere ustetan Jainkoak hala antolatu zituelako zeruko konstelazioak) eta ikosaedroa ura (ziurrenik bere itxura borobilagoagatik, ez hain zorrotza).

Halere, Euklides (Alexandria, IV-III. mendeak) matematikariari zor diogu existentzia mugatu honen lehen demostrazioa bere Elementuak obran. Ongi ulertu nahi baduzu, arretaz irakurri beharko duzu:

1. Erpin bakoitzak hiru aurpegi elkartu beharko ditu gutxienez (batekin ezin dugu poliedro bat osatu, eta bi aurpegi elkartuz ertz bat izango dugu, eta ez erpin bat).
2. Erpin batetik poliedro bat osatu ahal izateko, angeluen batuera 360 gradu baino txikiagoa izan beharko da, bestela plano bat osatuko genukeelako.
3. Beraz, gutxienez hiru angelu egon behar direnez, angelu bakoitzak 360/3 = 120 gradu baino gutxiago neurtu beharko du.
4. Aurreko baldintza betetzeko erabili ditzakegun poligonoak (aurpegiak) gehienez 5 aldekoak izan beharko dira, 6 aldeko poligono batek dagoeneko 120 graduak osatzen dituelako aldeen artean.
5. Ondorioz, soilik bost kasu egongo dira:

• Aurpegi triangeluarrak: 60 gradu dituztenez, soilik 3, 4 edo 5 triangelu elkartu ahalko dira erpin batean, tetraedroa, oktaedroa eta ikosaedroa osatuz, hurrenez hurren. 6 edo gehiago izanik, 360 gradu edo gehiago izango ditugu.
•  Aurpegi karratuak: 90 gradu dituztenez, soilik 3 karratu elkartu daitezke, 4rekin 360ra iristen garelako. Hortaz, kuboa da aukera bakarra.
• Aurpegi pentagonalak: 108 gradu dituztenez, soilik 3 pentagono elkartu ahalko ditugu 360 graduak ez gainditzeko. Beraz, dodekaedroa da aukera bakarra.

Azkenik, Leonhard Euler izeneko matematikari eta fisikari suitzar emankorra aurki dezakegu ildo honetatik. Lehenik eta behin, poliedro ganbil baten baldintza zein den argitu behar dugu: barne erpinak elkartzen dituzten zuzenki guztiak, poliedroaren barruan gelditzen dira. Berak, 1751. urtean, edozein poliedro ganbilen elementuak erlazionatzen dituen formula ezagun bat demostratu zuen:

            Aurpegiak + Erpinak = Ertzak + 2

Ondoko taula behatzen baduzu, aurreko Eulerren formula solido platonikoetan egiaztatu egiten dela:

Eskerrik asko: Clifford A. Pickover, Carlos Quesada, Mickaël Launay

Tales: nola neurtu piramideak piramideak itzalen bidez

Tales Miletokoa

Miletoko hirian, gaur egungo Turkiaren kostaldean, K.a. VII. mendean jaio zen Tales, lehendabiziko matematikari greziar ospetsuena. Objektu matematikoei dagozkien emaitza orokorrak adierazten lehena izan zela esan dezakegu gainera.

Astronomian lanean aritu zen, eta badirudi eguzki-eklipse bat iragartzen zuen lehena izan zela. Kondairak dioenez, Halis-ko guduan zirela, bat batean eklipsearen erruz eguna gau bihurtu zen eta gudariek jainkoen mezu bat zela pentsatuz, bakea egin zuten.

Matematikaren alorrean, esan dezakegu Tales-en interesik handiena geometrian zegoela: zirkuluak, zuzenak, triangeluak... Zeintzuk izan ziren bere lorpenak?

• Angeluak izaki matematiko erabatekotzat hartzen lehena izan zen.
• Triangelu bakoitzari zirkulu bat egokitu dakiokeela, haren hiru erpinetatik igarotzen den huraxe, hain zuzen. Eta zirkunferentzia zirkunskribatu hori nola eratu ere proposatu zuen.
• Bi zuzen elkar ebakitzean eratutako angeluetan, erpinekiko aurkakoak berdinak direla egiaztatu zuen.
• Triangelu isoszele batek bi angelu berdinak dituela frogatu zuen. Lotura sendo bat ezarri zuen horrela luzeren eta angeluen artean: bi alde berdin, bi angelu berdin!
• Zuzenak zirkulua bi zati berdinetan zati dezan, zentrotik pasatu behar dela demostratu zuen. Zirkuluak bere baitan hartzen duen zuzenkirik luzeena da hori: diametroa.
• Eta geometriako askoz emaitza gehiago...

Zein da Tales-en meritu berezia? Azken irudiari erreparatzen badiogu, ez al da logikoa esatea diametroak zirkulua bi zati berdinetan banatzen duela? Orduan zerk egin zuen ospetsu Tales? Ordura arte zirkuluen adibideak jartzen ziren baina bera izan zen lehendabizikoa "edozein zirkuluri" buruz hitz eginez, modu abstraktuan, emaitza orokor bat lortu zuena, "betiko egia" izango zena. Hortxe hasi ziren teoremak.

Hala eta guztiz ere, Egiptorako bidaia batean dugu Tales-en aurkikuntzarik ezagunena. Kontatzen da bertako faraoi batek piramide handiaren altuera neurtzea eskatu ziola, eta horretarako hauxe bururatu zitzaiola. Erronka onartu eta modu dotorean ebatzi zuen: lurrean makil bat sartu zuen, eta haren itzala makilaren altueraren berdina izan zen arte itxaron zuen; orduan izango zen ere piramidearen itzala bere garaieraren berdina. Itzalaren metodo hau erabiliz, anima zaitez zu ere eraikin baten altuera kalkulatzen!

Berezitasun honetatik ondorioztatu zuen, hain zuzen, bere izena daraman teorema: Tales-en teorema, ziur aski ezaguna daukazuna.

Eskerrik asko: Denis Guedj, Mickaël Launay

Grezian bazaude, esandako guztia demostratu beharko duzu

Matematika zientzia bihurtu zen historiako garaia da Grezia Klasikoa. Zeintzuk dira matematika honen ezaugarriak? Aurretik Egipton eta Mesopotamian zeuden ezagutzak beti kasu partikularretan aplikatuak ziren, baina garai honetan matematikaren emaitzak orokorrak izango ziren (pentsa zein orokorrak diren, gaur egun ere balio dutela emaitza gehienek!). Emaitza orokor horiek demostrazioaren tresnaren bitartez lortu zituzten, eta hauxe izan zen, hain zuzen, desberdintasun nabariena aurreko matematikarekin eta historian zehar aurrerapauso ikaragarria.

Non sortu zen hau dena? Hemen ditugu Grezia klasikoko matematikaren hiriburu garrantzitsuenak:

* Urdinez azpimarratutakoak dira matematiken hiri adierazgarrienak.

Espazioan kokatu eta gero, denboran ere kokatu beharra dago matematika. Antzinako Grezian lehendabiziko matematikariak agertu ziren, eta haien matematika hiru garai desberdinetan banatzen dela esan dezakegu:

• Garai helenikoa (K.a. VI-IV): garai honetan, Egipto eta Mesopotamiako Ekialdeko zibilizazioen eragina eta ezagutzak iritsi ziren Greziara, matematikaren sortzaileen eskutatik gainera: Tales geometrian, Pitagoras aritmetikan, Eratostenes... bi eskola nagusirekin batera Eskola Pitagorikoa eta Atenasko Eskola. Hemengo matematika filosofiari oso lotua egon zen.

• Garai helenistikoa (K.a. IV- K.o. I): Greziako matematikaren urrezko garaia izan zen hau, bere hiru matematikari handiekin: Euklides, Arkimedes eta Apolonio. Alexandriako eskola sortu zen hemen, oso gune kultural garrantzitsua.

• Garai greko-erromatarra (K.o. I- Goi Erdi Aroa): matematikari dagokionez, emaitza gutxien eman zuen garaia izan zen hau; hala ere, izen ospetsuak ere egon ziren: Hipatia, Diofanto...

Eskerrik asko: Proyecto Sur, Denis Guedj,

Nola bihurtuko zenuke zirkulu bat karratu?

Grezia klasikoan proposatu zituzten, baina historia osoko matematikarien buruhauste bihurtu ziren. 2200 urte geroago demostratu zen ezinezkoak zirela, baldintza honen pean ebatzi behar baitziren: soilik konpasa eta erregela erabili ahal izatea.

• Angeluaren trisekzioa; galdera ondokoa da: posiblea da edozein angelu hiru angelu berdinetan zatitzea? Argi dago pi angelua (180 gradu) erraza dela, 60 gradu direlako eta hexagonoaren bitartez lor daitekeelako, esaterako. Ez dakigu ziur nondik datorren buruketa; posible da gaueko ordua jakiteko izarren arteko angeluak neurtzeko beharretik etortzea...

• Zirkuluaren koadratura: nori bururatu dakioke zirkulu bat karratu bihurtzea?! Eroak al daude matematikari hauek?! Badirudi ezetz. Gainera saiakera hau oso istorio bitxiari lotuta doakio. Anaxagoras (K.a. V. mendea) filosofo grekoa kartzelatuta izan zen Eguzkia haitz gori handi bat besterik ez zela esan zuenean. Kartzelan zegoelarik, honekin entretenitu egiten zen: edozein zirkulu izanik, azalera erabat berdina duen karratu bat marraztu, soilik erregela eta konpasa erabiliz.

• Kuboaren bikoizketa: buruketa hau Atenaseko epidemia gogor batean zehar agertu zen, K.a. 430ean. Herritarrek Deloseko orakuluari galdetu zioten nola zen posible epidemia amaitzea, eta honek Apolo jainkoak bere aldarearen tamaina bikoiztea eskatu zuela esan zuen. Espero zen bezala, bolumena bikoizteko kuboaren neurriak bikoiztu zituzten, baina honek ez zuen bolumena bikoiztu, zortzi bider egin baizik!!! Ertz bakoitza x2 eginez gero, hiru ertzek osotara x2x2x2 = 2ber3 egingo zuten. Platonen arabera, orakuluak herritarrak lotsarazi nahi omen zituen matematika eta geometriaren ezagutza alde batera utzita izateagatik. Guri ez dakigun gauza bera gertatu...

Eskerrik asko: Anne Rooney.

Kalkulatzea harriekin jolastea da

Uste baino jatorri interesgarriagoa dute zientzia honen kontzeptuek. Hona hemen batzuk:

• Matematika: grekeratik dator eta "ikasten diren gauzak" esan nahi du. Pitagorikoek dagoeneko kontzeptua ezagutu eta erabiltzen zuten K.a. VI. mendean.

• Kalkulua: latineko calculus hitzetik dator eta "harria" esan nahi du. Zergatik harria? Lehendabiziko kalkuluak historian, grekoek eta txinatarrek abako izeneko tramankulu batzuekin egiten zituzten, eta bertan harriak ziren oinarrizko piezak. Noizbait entzun duzu giltzurruneko kalkuluak dituen kasuren bat? Harriak gorputz barruan!
  

• Zero: Indian jaio zen oinarrizko zenbaki hau, hortaz bertako sanskrito hizkuntzaren shunya hitzetik, arabieraren sifr eta ondoren latinaren zephirum hitzetik dator. Lehenengo aldiz Gwalior izeneko tenpluan zizelkatua ikus dezakegu, ondoren Brahmaguptak dokumentu batean adierazi eta erabili zuelarik lehen aldiz.

• Algebra: Al-Khwarizmi (VII. mendea) izeneko matematikari arabiarraren tratadu baten izenburuan du jatorria hitz ospetsu honek. Al-kitab al-jabr w'al muqabalah izena du liburuak: al-jabr ekuazioen transposizioa adierazten duen hitza da, eta al-muqabalah transposatutako gaien laburketa. Gaur egun ekuazio polinomikoak ebazteko oraindik erabiltzen den teknika bat da.

• Geometria: grekotik dator, baina haren benetako jatorria Egipton aurkitzen dugu. Geo lurra da eta metria neurketa. Matematikaren adar hau lurra neurtzeko erabiltzen zen haren jatorrian, Nilo ibaiak gainezka egiten baitzuen urtero, eta horrezkero berriz lurrak neurtu behar ziren zergak proportzionalki ordaintzeko.

Zure hilarrian asmakizun matematiko bat jarriko zenuke?

Matematikariek oso gogor ekin zioten lanari bizitzan zehar, eta horren adierazle aurkitzen ditugu haien bizitzaren amaieran ere epitafio bitxi batzuk haien hilobietan. Bi aipatuko ditugu.

 

Lehendabizikoa Arkimedes-ena (Siracusa, gaur egungo Sizilian, K.a. III. mendekoa), garrantzi handiko pertsonaia matematikan, fisikan nahiz astronomian. Gorputz geometrikoen azalerak eta bolumenak sakonki aztertu zituen, eta horren adierazle dugu haren epitafioa, harro baitzegoen berak demostratutako aurkikuntzaz: esferaren bolumena, zirkunskribatutako zilindroaren bolumenaren 2/3 dela.

Arkimedes Sirakusakoa. Esfera eta zilindroa

Diofanto Alexandriakoa

 

Grezia klasikoan jarraituz, Diofanto (Alexandria, K.o. III. mendekoa) dugu algebrari bultzada berri bat eman zion matematikaria. Bere epitafioan haren adina asmatzeko aukera ematen digun buruketa bat aurkitzen dugu, 1. mailako ekuazio erraz baten bidez ebatzi daitekeena:

«Hemen du Diofantok hilobia, bertan bere bizitzaren aroak azaltzen direlarik: haurtzaroan bizialdiaren seirena eman zuen; hortik aurrera, bizarra masailak betetzen hasi zitzaion arte hamabirena; geroztik, zazpirena ezkondu arte; ezkondu eta bost urtera bere semea jaio zen; gero, aitaren adinaren erdira heldu zenean, semea hil egin zen ustekabean, lau udaz egin zion negar aitak. Hortik, beraz, bere adina asma dezakezu»

Ea zuk zeuk asmatzen duzun zein adinarekin hil zen Diofanto... aurreko ekuazioa ebaztea besterik ez duzu.

Aipatuko dugun azkena Van Ceulen izango da, 1610. urtean pi zenbakiaren lehen 35 zifra hamartarrak kalkulatu zituena. Hain harro zegoen bere lorpenaz, bere hilarrian idatz zitzatela agindu baitzuen (Leiden-eko San Pedro elizan dugu, Holandan).

Historian zehar matematikari gehiago egon zen nahi honekin, ea aurkitzen duzun zuk kuriositate gehiago honi buruz...