Zenbaki irudikariak. Izenak esaten du dena

1 zenbakiaren erro karratua 1 da, baina zenbat da -1 zenbakiaren erro karratua? Zein da ber bi eginez -1 aterako den zenbakia? Ikasi dugun bezala, ber bi eginez zenbaki guztiak positibo egiten dira. Orduan, nola konpondu egoera hau?

Zenbaki negatiboen erro karratuekin Cardanok egin zuen topo lehendabiziko aldiz 1545.ean, bere Ars Magna liburuan  3. eta 4. mailako ekuazioen ebazpena azaltzen ari zenean: "banatu 10 bi zatitan, haien arteko biderkadurak 40 emango duelarik". Berak ez zituen oraindik zenbaki gisa onartu, baina behintzat zioen "oinaze handirik gabe, bi soluzioen arteko biderkadurak 40 ematen duela ikus dezakegu"  $$x·\left( 10-x \right) =40\\ \\ { x }_{ 1 }=5+\sqrt { -15 } \\ { x }_{ 2 }=5-\sqrt { -15 } \\ \\ \left( 5+\sqrt { -15 }  \right) \left( 5-\sqrt { -15 }  \right) =25-\left( -15 \right) =40$$ 

 

Urteetan zehar matematikariek ezin zuten konpondu egoera hau, 1572.ean Rafael Bombelli ingeniari italiarrak  -1en erro karratua zenbaki gisa kontutan hartu zuen arte. Matematikari askok ez zituzten erabat onartu; are gehiago, Descartesek mespretxuarekin deitu zien zenbaki irudikariak. 1777. urtean Eulerrek i zenbakiarekin izendatu zuen  irudikari hitzaren lehendabiziko hizkia hartuz:

i zenbakia

 

Baina zenbaki gisa onartu ondoren, nola kokatu zuzen errealean? 1673.ean John Wallis-ek zenbaki konplexu bakoitzari planoko puntu bat egokitu zion: ardatz batean zati erreala eta beste ardatzean zati irudikaria. Ondoren 1806an Jean Robert Argand matematikari suitzarrak horrelaxe adierazi zituen:

Plano konplexua

 

W.R. Hamilton-ek, aldiz, ez zuen beharrezkoa izan i erabiltzea, nahikoa baitzen (a,b) pare ordenatuarekin. Modu batean ala bestean, benetan ikusgarriak diren irudi geometrikoak sor daitezke zenbaki konplexuak erabiliz. Esaterako, 1980. urtean Mandelbrot-ek beheko irudia azaldu zuen, formula sinple batean zenbaki konplexuak ordezkatuz; ondoko bideoan ikus daiteke nola sortu irudi zoragarri hau GeoGebra softwarea erabiliz: $${ z }_{ n+1 }={ z }_{ n }^{ 2 }+c$$

Mandelbrot-en multzoa

 

Arraroa badirudi ere, gaur egungo aurrerakuntza asko ez ziren izango posible zenbaki irudikariak gabe: korronte alternoa, erlatibitatearen teoria, seinale prozesaketa edo fluidoen mekanikan, beste batzuen artean.

Eskerrik asko: Tony Crilly, Ian Stewart, Clifford A. Pickover. Informazio gehiago aurki dezakezu Rafael Andres Alemañ http://es.slideshare.net/raalbeautor/numeros-complejos ikertzailearen diapositibetan.

Soilik bost poliedro erregular?

Bi kontzeptu argi izan behar ditugu hasieratik:

• Poliedroa: aurpegi gisa poligonoak dituen hiru dimentsioko irudi mugatua da. 
• Poliedro erregularra: aurpegi guztiak berdinak eta erregularrak dituen poliedroa da (aldeberdinak eta angeluberdinak). Horretaz gain, poliedro erregular baten erpin guztietan aurpegi kopuru berdina elkartzen da.

Jakinda zer den poliedro erregular bat, osotara, zenbat poliedro erregular existituko direla uste duzu? Hasiera batean kopuru handi bat datorkigu burura, baina soilik bost existitzen dira! Nola da posible hau?

K.a. IV. mendeko Atenas-ko Teeteto izan omen zen bost solido platoniko hauen deskribapen osoa eman zuen lehendabiziko matematikaria. Solido platonikoak? Zergatik orain Platonen izena? Ez al ziren izan beharko Teetetoren solidoak? Batzuetan historia bidegabekoa da, eta kasu honetan Platonek ez zituen poliedro horiek aurkitu; berak soilik ospetsu bihurtu zituen unibertsoarekin zerikusia zuen teoriaren bitartez.

Platonen ustez, K.a. 350. urtearen inguruan idatzitako bere Timeo obran, geometria unibertsoa ulertzeko gakoa zela zioen. Obra horretan unibertso osoa bost poliedro erregularren bidez adierazia zegoela zioen: tetraedroa sua (agian bere ertzen itxura zorrotzaren erruz), kuboa lurra (bere itxura egonkorragatik), oktaedroa airea, dodekaedroa unibertsoa (bere ustetan Jainkoak hala antolatu zituelako zeruko konstelazioak) eta ikosaedroa ura (ziurrenik bere itxura borobilagoagatik, ez hain zorrotza).

Halere, Euklides (Alexandria, IV-III. mendeak) matematikariari zor diogu existentzia mugatu honen lehen demostrazioa bere Elementuak obran. Ongi ulertu nahi baduzu, arretaz irakurri beharko duzu:

1. Erpin bakoitzak hiru aurpegi elkartu beharko ditu gutxienez (batekin ezin dugu poliedro bat osatu, eta bi aurpegi elkartuz ertz bat izango dugu, eta ez erpin bat).
2. Erpin batetik poliedro bat osatu ahal izateko, angeluen batuera 360 gradu baino txikiagoa izan beharko da, bestela plano bat osatuko genukeelako.
3. Beraz, gutxienez hiru angelu egon behar direnez, angelu bakoitzak 360/3 = 120 gradu baino gutxiago neurtu beharko du.
4. Aurreko baldintza betetzeko erabili ditzakegun poligonoak (aurpegiak) gehienez 5 aldekoak izan beharko dira, 6 aldeko poligono batek dagoeneko 120 graduak osatzen dituelako aldeen artean.
5. Ondorioz, soilik bost kasu egongo dira:

• Aurpegi triangeluarrak: 60 gradu dituztenez, soilik 3, 4 edo 5 triangelu elkartu ahalko dira erpin batean, tetraedroa, oktaedroa eta ikosaedroa osatuz, hurrenez hurren. 6 edo gehiago izanik, 360 gradu edo gehiago izango ditugu.
•  Aurpegi karratuak: 90 gradu dituztenez, soilik 3 karratu elkartu daitezke, 4rekin 360ra iristen garelako. Hortaz, kuboa da aukera bakarra.
• Aurpegi pentagonalak: 108 gradu dituztenez, soilik 3 pentagono elkartu ahalko ditugu 360 graduak ez gainditzeko. Beraz, dodekaedroa da aukera bakarra.

Azkenik, Leonhard Euler izeneko matematikari eta fisikari suitzar emankorra aurki dezakegu ildo honetatik. Lehenik eta behin, poliedro ganbil baten baldintza zein den argitu behar dugu: barne erpinak elkartzen dituzten zuzenki guztiak, poliedroaren barruan gelditzen dira. Berak, 1751. urtean, edozein poliedro ganbilen elementuak erlazionatzen dituen formula ezagun bat demostratu zuen:

            Aurpegiak + Erpinak = Ertzak + 2

Ondoko taula behatzen baduzu, aurreko Eulerren formula solido platonikoetan egiaztatu egiten dela:

Eskerrik asko: Clifford A. Pickover, Carlos Quesada, Mickaël Launay

e, hazkundearen zenbakia

e zenbakia... zenbaki errealen sailkapena osatzen ari garenean, ikasleak harrituta gelditu ohi dira zenbaki hori existitzen dela esaten diedanean. Baina zer da e? Nondik ateratzen da? Zergatik da irrazionala?  

e zenbakiaren lehen hogei zifra hamartarrak 2'71828182845904523536... dira. 1618. urtean John Napier matematikari eskoziarra topatu zen lehen aldiz zenbaki honekin, logaritmoekin lanean ari zenean. Logaritmo nepertarra, e oinarria duena, Napierrek proposatutakoa hain zuzen ere! Horrexegatik izen hori.

XVII. mendean jarraituz, Jakob Bernoulli matematikari suitzarra aipatu beharra dugu (abizen hau maiz entzungo duzu matematiketan, zientzialariz beteriko familia handi bat osatzen zutelako). Bere kasuan, interes konposatuko buruketak ebazten ari zela, e zenbakiarekin aurrez aurre topo egin zuen. Zer gertatzen da x gero eta handiago egiten denean? Saia zaitez excel edo kalkulagailuaz.

 

Baina ez zen izan 1727ra arte Leonhard Euler matematikari eta fisikari suitzarra zenbaki hori aztertu eta lehen aldiz hala izendatu zuenean. 1737.ean Eulerrek zenbakia irrazionala zela demostratu zuen, hau da, ezin zela bi osoren zatiki eran adierazi, eta bere lehen 18 zifrak ere aurkitu zituen. Gaur egun ehun mila milioi zifra baino gehiago ezagutzen dira!!!

Aurrerago, Lagrange matematikari frantziarrak lehen aipaturiko limitearen ordez, serie infinitu baten bitartez lortu zuen e zenbakia (harridura ikurrak "faktorial" esan nahi du, adibidez  4! = 1·2·3·4). Hartu zure kalkulagailua, eta x = 1 aplikatuz, ea zein baliora hurbiltzen zaren:

1873.ean, Hermite-k egiaztatu zuen irrazionala izateaz gain, traszendentea zela, ekuazio algebraikoen emaitza gisa inoiz topatuko ez genuelako.

Non aurki dezakegu bizitza arruntean?

• Substantzia erradioaktiboen desintegrazioaren kurba e-ren arabera deskribatzen da. Funtzio esponentzialaren araberako portaera dugu. Gogoratzen duzu zer gertatzen zen x ardatzera hurbiltzean?
• Poisson-en banaketan probabilitatean.
• Bankuan dirua gordetzen dugunean eta interes konposatua kalkulatzean.
• Injeniaritzan, zubi esekiaren forma deskribatzeko erabiltzen da (adibidez, argazkiko Gateaway Arch, San Louis-en). 192 m-ko altuera du eta beheko ekuazioaren arabera egina dago:

Gateaway Arch, San Louis-en

Katenariaren itxura hobeto ikusteko, ireki GeoGebra eta a parametroari balioak emanez, saia zaitez irekiera desberdineko kurbak lortzen. Kontuz! Parabolekin konfunditu ohi dira, baina propietate desberdinak dituzte.

Katenariaren formula

 

Bukaera emateko, e zenbaki berezi honi buruzko gehiago ikasi nahi baduzu, egin klik ondorengo bideoan:

 

Eskerrik asko: Tony Crilly, Pickover.