Nola zenbatuko zenuke zenbakiak erabili gabe?

Duela 5000 urte inguru, Antzinako Mesopotamian, abereen kontrola eramateko, lurraldeen mugak neurtzeko eta merkataritzan aritzeko, zenbakien beharra sortu zen. Baina gaur egungo zenbakiak existitzen ez baziren, nola zenbatuko zuten K.a. III. milurtekoko gizakiek? Uda garaia iristen zenean artaldeak iparraldeko lurraldeetara mugitzen zituzten. Jabeek ardiak artzainen esku uzten zituzten, hilabete batzuetan zehar zaindu eta berriz bueltatzeko. Dena den, nola jakin zenbat ardi itzuli behar zituzten?

Horretarako, buztinezko fitxak erabiltzen zituzten: zenbat fitxa, hainbat ardi. Fitxa horiek buztinezko ontzietan gordetzen zituzten, baina bitartean nor arduratuko zen ontzia gordetzeaz? Nortaz fidatu? Orduan, aurrerago ontziak itxita uzten ziren, baina horrek jabeei ere arazoak ematen zizkien, negozioak egiteko uneoro jakin behar zutelako zenbat ardi zeuzkaten, eta gogoratu, oraindik zenbakiak ez ziren existitzen! Eta ez hori bakarrik, artaldeetan milaka ardi ziren. Beraz, ontzien kanpoan ere markak eginez jakingo zuten zenbat ardi ziren.

Hori dela eta, duela 4000 urte inguru babiloniarrek ideia bikaina izan zuten: zertarako prestatu milaka fitxa eta ontzitxo, kanpoko markak nahikoak badira jakiteko artaldearen tamaina? Horrekin sistema hobeago bat garatu zuten: buztinezko taulatxoak. Buztinezko pieza txikietan puntzoi batez markak egin eta ondoren buztina egosiz, zenbaki handiak idazteko aukera izan zuten: idazkera kuneiformea deitzen da. Metodo honi esker iritsi zaizkigu aztarna hauek milaka urte igaro ondoren.

Babiloniarren zenbatzeko sisteman bi ikur erabiltzen ziren: iltzea 1 zenbakiarentzako eta galburua 10 adierazteko. Sistemak 60 oinarria zuen (gaur egun denbora eta angeluak neurtzeko erabiltzen duguna bezala), eta horrek zer esan nahi du? Ba 1etik 59ra doazen zenbakiak idazteko ikurrak pilatu egiten zirela:

 

Zenbakiak idazkera kuneiformean

 

Aldiz, 60tik aurrerako zenbakietarako multzoak egiten ziren; multzo horiek okupatutako posizioaren arabera, balio desberdina hartzen zuten. Adibidez,  1859 zenbakia hala adierazten zen:

Sistema horrek posizioari esker idazkera errazten zuen, baina oraindik ere gabezia handi bat zeukaten: ez zegoen zeroa edo posizio hutsa adierazteko modurik. Hasiera batean, 22 edo 202 zenbakiak adierazteko bi markako bi multzo adierazten zituzten, azkenaren kasuan hutsune txiki bat utziz, baina horrek zalantza asko sortzen zituen.

 

 

Antzinako Egipton, Mesopotamiako lurraldeetatik hurbil, K.a. III. milurtekoaren hasieran ere idazkera garatu zuten, baina beste sinbolo batzuekin:

Beraien zenbatzeko sistemak oinarria 10 zuen, gurearen antzera. Irudikatzeko sistema oso polita izan zitekeen, baina ez zen oso erosoa. Zenbakiak ikur horiek errepikatuz lortzen ziren, baina posizioa kontutan hartu gabe. Hala, bederatzi zenbakia adierazteko, 1 zenbakiaren irudia bederatzi aldiz idatzi behar zen.

Adibidez 4622 zenbakia idazteko, milakoen ikurra 4 aldiz, ehunekoen ikurra 6 aldiz, hamarrekoen ikurra 2 aldiz eta unitateen ikurra 2 aldiz irudikatu behar ziren. Baina, zer gertatzen da 999 999 bezalako zenbakiekin? Zenbat ikur idatzi beharko genituzke? Ba al da praktikoa idazteko modu batukor hori?

Egiptoarrek ez zuten hau dena buztinean idazten, horren ordez haien materiala papiroa zen.

Rhind papiroaren zati bat

XIX. mendean Rhind izeneko aditu batek papiro ospetsu bat erosi zuen, eta hortik dakigu zer nolako matematika egiten zen Antzinako Egipton: zatikien buruketak, piramideen azalera eta bolumenen kalkuluak, proportzionaltasun problemak... buruketak beteriko dokumentua da. Ordutik, Rhind papiroa (aurkitutako pertsonaren omenean) edo Ahmes-en papiroa (idazlearen omenean) deitzen da.

Hala eta guztiz ere, inperio hauek guztiek behera egin zutenean, ezagutza hauek guztiak bertan behera geratu ziren, eta milaka urte igaro behar izan ziren berriz ere aurkikuntza hauek ezagutzeko.

Bitartean, Amerikako maien zibilizazioan oinarria 20koa aplikatu zuten.

Ondoren Erromatarrak iritsi ziren. Haien sistema nahiko kaxkarra zen, batez ere eragiketak egiteko. Denok ezagutzen ditugu zifra erromatarrak, baina seguruenik ez dugu ezagutuko batuketak eta kenketak egiteko zuten era korapilatsua:

Goiko taula horretatik ondoriozta dezakegu, beraz, erromatarren zenbaki-sistema ez zela batere erosoa eta etorkizunean ez zuela arrakasta handirik izango.

 

 

Baina... munduari zenbat buelta gehiago eman behar dizkiogu behingoz gure zenbakiak aurkitzeko? Hiru pauso besterik ez dira falta gure zenbakien jatorria ulertzeko: Indian sortu, arabiarrek erabili eta Europan zabaldu:

Zifra horiek posizioaren araberako sistema-hamartar batean erabiltzen ziren, hau da, zifra bakoitzak okupatutako posizioaren arabera, hamarren berretura zehatza adierazi nahi zuen. Soilik hamar ikur erabiliz, posible zen edozein zenbaki adieraztea. A ze diferentzia egiptoarren metodoarekin!

 

Laburbilduz, gaur egun zenbakiak adierazteko dugun era eta erabiltzen ditugun ikurrak, beraz, Indiatik datozela esan dezakegu. Baina nola iritsi ziren handik gure herrialdeetara? Ekialdeko jakintsuak Bagdad hirira erakarri ziren, eta horrela lekukotu zen sistema indiarra arabiarren kulturan. Honen ostean, Erdi Aroan Fibonacci izeneko matematikari italiar ospetsua izan zen zenbakiak adierazteko modu hau Europan sartu zuena, bere Liber Abaci liburuan zenbakiak nola izendatu eta nola idatzi azaltzen baitu. Hain erabilgarria suertatu zen metodo hau, gaur egun arte iraun duela eta ia mundu osoan erabiltzen dela.

Gai honi buruz gehiago sakondu nahi izanez gero, ikusi ondoko bideoa:

Eskerrik asko: Marcus du Satoy, Mickaël Launay.

Aljebraren hastapenak: nork ebazten zituen lehenengo ekuazioak?

Antzinako Egipton

Egipton, bizitza arrunteko problemekin lotuta, "kantitate ezezagunen" kontzeptua hasten da, gaurko x. Orduan lehen mailako ekuazioak ezagutzen zituzten, Ahmes papiroan demostratu ahal izan den bezala, baina ez ziren ebazten gaur egungo teknikekin: "regula falsi" metodoa erabiltzen zuten, hau da, ekuazioaren soluzio bat suposatu, ekuazioan aplikatu eta emaitzak konparatuz, proportzionaltasuna erabiliz lortzen zuten soluzio egokia. Batzuetan prozesu luze xamarra zen!

Mesopotamian

Babiloniarrek zenbakien erabilera uste baino hobeto menperatzen zuten, eta aljebraren lehenengo erabilera gorena handik datorkigu. Babiloniarren matematikako buruketa gehienak lurraren neurketarekin lotuta daude, eta hortik agertzen dira 2. nahiz 3. mailako lehendabiziko ekuazioak. Hala eta guztiz ere, arraroa badirudi ere, ekuazioak ez zituzten formulen bitartez ebazten, geometriarekin baizik! Lur zati laukizuzen batetik abiatuta, zati karratu bat sortu eta berretura perfektuetatik lortzen zuten soluzioa.

Grezia klasikoan

Diofanto Alexandriakoa

Diofanto matematikaria izan zen K.a. 250. urtearen inguruan bere Arithmetica liburuan ordura arte aljebra gehien landu zuena. Bertan, ax^2 + bx = 0 bezalako ekuazioak ebazteko interes handia adierazten du; babiloniarrek dagoeneko ezagutzen zituzten ekuazio lineal (1. mailakoak) eta koadratikoak (2. mailakoak) ebazteko zenbait metodo, baina Diofantoren meritua da idazkera aljebraiko sistematikoa eta koherentea erabiltzen lehena izan zela.

Arabiarrak

Al-Khwarizmi eta bere lana

Aurreko lanetatik abiatuta, al-Khwarizmi matematikari eta astronomo persiarrak (780-850) bere Aljebra liburuan ekuazio lineal eta koadratikoen ebazpen sistematikoa aurkeztu zuen. X. mendera arte, 2. mailako ekuazioak ebazteko metodo geometrikoak erabili ohi ziren, funtsean ekuazio hauek lurreko problema errealetarako erabiltzen zirelako, testuingururik gabeko buruketetarako erabili beharrean. Esan dezakegu, Al-Khwarizmi izan zela, Diofantorekin batera, "aljebraren aita", haien lanetatik abiatuta garatu zelako historian zehar gaur egungo aljebra osoa.

Bere obra 830. urtean Al-Khwarizmik Bagdadeko Jakinduriaren etxean (garaiko kulturgune garrantzitsuenean) aurkeztu zuen, eta harekin aljebrako problemak ebazteko modua betirako aldatu zuen. Bere lilburuaren izenburutik dator, hain zuzen ere, aljebra hitzaren jatorria:  Kitab al-jabr w'al muqabalah (euskaraz, Errestaurazioaren eta oposizioaren kalkuluaren liburu laburtua deituko genuke).

 

Kuriosoena honako hau da: bere lanetan ez zuen ikurrik erabiltzen. Horren ordez, ekuazioak hitzez adierazten zituen, diagramez lagunduta. Ikus ezazu ondoko adibidea: gaur egun horrela planteatuko genukeen ekuazioa:

 

Berak honela idatziko luke: "Kopuru bat: horren herena eta dirham bat biderkatu ditut haren laurdenarekin eta dirham batekin; hogei ematen du" (oharra: dirhama unitatea adierazteko erabiltzen duen moneta da) . Imajinatu nolakoak izango liratekeen gure aljebrako klaseak horrela azalduko bagenitu!

Eskerrik asko: Pickover, Tony Crilly, DK London.

π, munduko zenbakirik ospetsuena

Pi zenbakia zirkulu baten perimetroa eta diametroaren arteko zatiketa da. Berdin da zein den zirkuluaren tamaina, handia ala txikia pi beti berdina da. Froga ezazu hari bat eta erregela erabiliz, pi-ren hurbilketa bat lortuko duzu eta.

Zergatik pi izena? π ikurra William Jones-ek barneratu zuen 1706. urtean, ondoren Eulerrek zabaldu zuelarik. Ikurra grekeraz periferia eta perimetro hitzen lehendabiziko hizkitik dator: περιφέρεια (periferia) , περίμετρον (perimetro).

Baina zenbat da pi zehazki? Ondoko bideoko bi neskena zuri ez gertatzeko, irakurri arretaz pi-ri buruz kontatzen dizudana.

Pi gero eta zehatzago historian zehar

Ziurrenik, jadanik Antzinaroan jabetu ziren perimetroa eta diametroaren arteko erlazioaz, edozein tamainako gurpilak bira bat egitean gutxi gorabehera hiru aldiz diametroko luzera egiten zuelako.

Mankala jokuaren pauso bat

Pi-ren historia egipziarrekin hasten da, matematiken kontzeptu asko bezala. K.a. 1650 inguruko Rhind papiroan zirkuluen azalera kalkulatzen bazekitela egiaztatzen da, baina harrigarriena kalkulu horren zehaztasunean dago. Teoria batek dio Mankala jokuaren erabileran dagoela aurkikuntza honen jatorria. Esaten da seguruenik monjeak honetara jolasten zeudela, konturatu zirela honetaz: aldea 8-koa duen karratu baten azalera, diametroa 9-koa duen zirkulu baten azaleraren antzekoa da. Bi hauen azalerak erlazionatuz, saia zaitez zu zeu lortzen pi-ren balioa (3'16 inguruko balioa lortu zuten egipziarrek).

Hala eta guztiz ere, Grezia klasikoan dugu pi-ren teoria sakonago bat. K.a. 225. urtearen inguruan Arkimedes Sirakusakoa matematikari, fisikari eta astronomo ospetsuak pi-ren balioa mugatu egin zuen, aldi berean mende batzuk geroago funtsezkoa izango zen metodo bat erabiliz: exhauzio metodoa. Zirkunferentziaren perimetroa modu zehatzean kalkulatzeko bi hexagono marraztu zituen, bata zirkunferentziaren barrualdea ukitzen (hexagono inskribatua) eta bestea kanpoaldea ukitzen (hexagono zirkunskribatua). Hexagonoaren perimetroa era zehatzean kalkula daitekeenez, Arkimedesek nahikoa zuen bi hexagonoen perimetroa kalkulatzearekin zirkunferentziaren perimetroa ze bi balioaren artean zegoen esateko.

Arkimedes Sirakusakoa eta pi-ren hurbilketa

Gero eta alde gehiago eduki marraztutako poligonoak, orduan eta zehaztasun gehiagorekin eman zitekeen pi-ren balioa. Hori dela eta, Arkimedes 6 aldeko poligonoarekin hasi zen arren, alde kopurua bikoizten joan zen 96 aldeko poligonoa erabili arte. Metodo honen bitartez, irudian agertzen diren bi balioetara iritsi zen.

Egipto, Grezia eta gero Txinako pentsalariek honetan jardun zuten, baina XII. mendetik aurrera, gaur egungo zenbakikuntza sistemarekin batera asko erraztu zen pi-ren balioa lortzeko kalkulua, eta zer esan lehendabiziko ordenagailuak agertu zirenetik!!! 

Denok uste dugunez, pi zenbakiaren erabilera praktikoa zirkuluen kalkuluetan dago, baina arraroa badirudi ere, 1673. urtean Leibnitz matematikariak pi zirkuluetatik urrundu eta zatikien serie infinitu batekin lotu zuen (ea zuk zeuk lortzen duzun segida horren gai orokorra):

Pi-ri buruz hitz egin dugu dagoeneko, baina zein da zenbaki hori? Zenbat hamartar ditu? Lehen ordenagailuekin zifra asko lortu direla badakigu, baina zifra kopurua amaiezina da, patroi errepikakorrik gabeko infinitu zifra baititu. 1761. urtean Lambert matematikariak demostratu zuen pi zenbakia irrazionala dela (ezin dela bi zenbaki osoren arteko zatiketa eran adierazi, eta infinitu hamartar ez periodikoak dituela), eta 1882. urtean Lindemann matematikariak pi transzendentea dela, hau da, ekuazio polinomikoen soluzioa ez dela.

Zertarako balio digu π zenbakiak? 

Lehenengo ordenagailua asmatu zenetik pi-ren zifra hamartar asko lortu dira, gaur egun bilioi bat zifra inguru ezagutzen direlarik. Hala eta guztiz ere, pi-ren zifra gutxirekin nahikoa izaten da kalkulu zehatzak egiteko.  Orduan, zertarako behar ditugu jakin hainbeste zifra? Adibidez, ordenagailu batek pi-ren zifrak lortzen ematen duen abiadura erabiltzen da ordenagailu horren trebezia konputazionala neurtzeko.

Hala ere, oraindik ez baduzu argi zergatik den hain garrantzitsua zenbaki hau, hona hemen bere agerpenen zerrenda txiki bat:

• Geometrian: zirkuluaren perimetro eta azaleran, gorputz biribilen azalera eta bolumenetan (zilindroan, konoan, esferan)...
• Kalkuluan: astroide, zikloide, kardioide eta Arkimedesen espiralak sortzen duten azalera zatietan.
• Analisian: serie infinituetan, Gauss kanpaian, Eulerren identitatean, etab.
• Eta baita probabilitatean ere!

Ikaragarria ezta? Eta zenbaezinak dira ere zenbaki honi buruzko kuriositateak, haren lehen zifrak gogora ekartzeko asmatu diren tramankulu eta tresnak bezala: abestien letrak, zifren koloreak, musika zifrekin... zuk zeuk azter dezakezu mundu miragarri hau zure kabuz. Akira Haraguchi injeniari japoniarra gai izan zen 2006. urtean pi zenbakiaren lehen 100 000 zifrak buruz esateko, 20 ordu inguru behar izan zituelarik!!!

Eskerrik asko Tony Crilly, Marcus du Satoy, Lolita Brain.