Blog hau, matematikaren historian zehar egondako sekretu eta anekdotak, DBH eta Batxilergoko ikasle euskaldun guztiengana hurbiltzeko asmoarekin jaio da. Bitxikeriaz beteriko mundua bat aurkituko duzu, beraz abenturan murgildu zaitez eta dauzkazun ideiak gurekin partekatu!
Sophie Germain 1776-1831 urte bitartean bizitako emakume frantsesa izan zen. Paris-en jaio zen, familia aberats batean, halere ez zen noblea. Garai hartan emakume nobleek zientziaz jakitea ongi ikusia zegoen, baina emakume arrunt batek matematika ezagutzea ez zegoen onartua, beraientzako aski zelako jostea, pianoa jotzea, akuarelaz margotzea edo umeak zaintzea. Hori zen emakume aberatsen mundu bakarra.
Noiz hasi zen, orduan, Sophie matematikan interesa jartzen? Arkimedesen heriotzaren arrazoia ezagutu zuenean. Antzinako Greziako garaian kokatu zaitez, eta imajinatu soldadu erromatar bat erasotzera datorkizula. Babestu ordez, hauxe izan omen zen Arkimedes-ek erasotzaileari erantzundakoa: "Ez molestatu orain, ez ukitu harean dauzkadan marrazki hauek, oso garrantzitsuak dira". Orduan, soldaduak ezpatarekin zeharkatu omen zuen. Sophie-k pentsatuko zuen: "zer ote daukate matematikek, gizon hark bere bizitzaren truke emateko?"
Lehen aipatu den bezala, emakumeak zientzian aritzea ez zegoen ongi ikusia, eta bere familia Sophieren interesengatik atsekabetuta zegoen. Hortaz, neskak gauez ikasi behar zuen, ezkutatuta, hortik lortutako kandela zatitxoei esker. Egoera irudikatu dezakezu? Gaur egun gazteak maindirearen azpian mugikorrarekin dauden moduan, Sophie matematikako liburuak ikasten zebilen. Zelako aldea!
Dena den, bere bizitza eta eragozpenak alde batera utzita, zeintzuk izan diren Sophie-ren ekarpenak matematiketan? Zenbakien teorian eta Fermat-en azken teoreman lanean aritu zen. Hona hemen laburpen txiki bat:
Esaldi hori ulertzeko, lehendabizi pentsatu kasu sinpleenak:
n=1 denean, orduan x + y = z. Zenbaki hirukoteak bilatu behar ditugu berdintza beteko dutenak: adibidez 2+3=5; 1+6=7; 3+5=8... aukerak bukaezinak dira, infinitu soluzio aurki daitezkeelako.
n=3 edo handiagoa denean, orduan ez dago modurik soluzioak aurkitzeko. Saiatu nahi duzu?
Teorema sinple hori misteriotsua eta erakargarria iruditu zitzaion Sophie gure protagonistari, beraz horretan aritu zen lanean, eta garaiko beste matematikari ospetsuei kartaz idazten zienean, haiek ez pentsatzeko emakumea zela, Monsier Le Blanc bezala sinatzen zuen. Gauss matematikari famatuak jakin zuenean, harrituta geratu zela esan zion. Ezinezkoa al zen emakume bat matematiketan bikaina izatea?
Informazio gehiago lortu nahi baduzu, Mujeres matemáticas (Joaquín Navarro idazlearena) liburua irakur dezakezu.
Zenbaki lehenak eskolan aipatzen dizkiguten zenbaki berezi batzuk dira, baina, zein da haien garrantzia? Zergatik ikasi behar? Zein da haien historia eta misterioa? Hurrengo lerroetan aurkituko dituzu galdera hauen erantzunak.
Zer dira zenbaki lehenak?
Zenbaki lehenaksoilik bi zatitzaile dituzten zenbakiak dira: 1 eta bere burua. Hortaz, hauexek ditugu lehendabiziko zenbaki lehenak: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23... Kimikan atomoak diren bezalaxe, matematikan zenbaki lehenak dauzkagu, gainontzeko zenbaki guztiak lortzeko balio diguten partikula deskonposaezinak direlako. Hortaz, gainontzeak zenbaki lehenen biderkaduratik abiatuz lortzen dira, hau da, zenbaki konposatuak: 3·5=15; 2·3·7= 42.
Eta ez hori bakarrik!!! 1 baino handiagoa den edozein zenbaki arrunt lortzeko, zenbaki lehenak modu bakarrean biderkatuz egiten da. Hau da Alexandriako Euklides-ek K.a. 300. urtearen inguruan bere Elementuak liburuan idatzi zuen esaldietako bat, eta gaur egun "Aritmetikaren oinarrizko teorema" izen potoloarekin ezagutzen dena. Horretaz gain, Euklidesek ere demostratu zuen infinitu zenbaki lehen daudela.
Nola lortzen dira?
Zoritxarrez, zenbaki lehenek ez dute inongo irizpiderik jarraitzen eta haiek aurkitzea ez da lan erraza. Hauxe izan da historian zehar matematikarien buruhauste handienetako bat: zenbaki lehenak lortzeko formula edo jarraibide bat aurkitzea.
Euklidesen garai berean, lehendabizikoa K.a. 230.ean Eratostenes Cirene-koa izan zen: zenbaki lehenen bahea izeneko tresna sortu zuen; zuk ere eraiki dezakezu ondoko argibideei jarraituz! Batetik ehunerako taula bat hartzen badugu, hasteko, 2-ren multiplo guztiak ezabatu behar dira (hauek ez baitziren izango lehenak), ondoren 3-ren multiploak, gero 5-en multiploak...eta ezabatu gabe gelditutakoak izango ziren lehenak.
Ohartzen bazara, bahea lortzeko lehenengo 10 zenbakietara iristearekin nahikoa da, 100en erro karratua. Orokorrean, edozein N zenbaki baino txikiagoak diren lehenak lortzeko, N-ren erro karratura iristearekin nahikoa litzateke. Metodo hau sortu zenetik 2000 urte beranduago oraindik ere erabiltzen jarraitzen da, zenbaki lehen txikiak lortzeko (kontuz, ez gaizki ulertu, hamar mila milioi zenbakia baino txikiagoak!).
XVII. mendera jauzi egiten badugu, Mersenne filosofo frantsesa aurkitzen dugu. 1641. urteko obran zenbaki lehen batzuk aurkitzeko formula bat ezarri eta lehenen propietate batzuk ere azaldu zituen. Garai eta toki berean Pierre de Fermat matematikari ospetsua; XVIII-XIX. mendean Sophie Germain matematikaria...
Zenbat zenbaki lehen daude?
1 eta 100-en artean zenbaki lehen gehiago daude 101 eta 200 artean baino. Beraz, zenbakiak handitzerakoan gero eta zenbaki lehen gutxiago baldin badaude, orduan... noizbait bukatuko dira? Erantzuna emateko berriz ere Euklides. Berak jarraibide matematiko bat erabiliz infinitu daudela demostratu zuen.
Zertan erabiltzen dira?
Gaur egun zenbaki lehenen erabilera ezagunenetako bat kriptografia da, hau da, mezu sekretuak kodetzeko tresna, adibidez web orrialde baten bitartez diru transferentziak egin nahi ditugunean (kode hauei buruzko informazio gehiagorako, egin klik hemen).
Hala eta guztiz ere, gehien harritzen nauen erabilera naturan dago eta K.a. milioi bat urte ingurutik datorkigu: txitxarrak. Garai hartatik datorkigun txitxar mota batek lurpean igarotzen du ia bere bizitza osoa, eta soilik 13 edo 17 urtetik behin ateratzen da ugaldu eta hil arte. Zergatik ez du egiten, adibidez, 12 urtetik behin? Erantzuna benetan zentzuduna da: bere zikloa 12 urtekoa balitz, haren harrapariak 2, 3, 4 edo 6 urteko ziklokoak izan zitezkeelako, aldiz 13 urtekoa izanik, zeintzuk dira aukerak? Mirari honen atzean dagoen kontzeptu matematikoari buruz hausnartzera animatzen zaitut.
Ebatzi gabeko misterioak
1742. urtean Goldbach matematikariak bere aierua formulatu zuen: "2 baino handiagoa den edozein zenbaki bikoiti, bi zenbaki lehenen batura gisa idatz daiteke". Adibidez: 42 = 5 + 37 da. Zenbakiak infinituak direnez, aierua baieztatzea lan zaila da; 1966. urtean Chen Jingrun txinatarra aierua ebaztear egon zen, baina oraindik ez da erabat lortu. Golbach-en aieru honi buruzko istorio bat ezagutu nahi baduzu, "La habitación de Fermat"pelikula interesgarria ikus dezakezu.
Ikusi ahal izan duzuenez, zenbaki lehenen mundua ebatzi gabeko misterioez inguratuta dago, eta mezu honetan kontatutakoa laburpen bat besterik ez da. Ikertu zuk zeuk mundu hau, gustoko baldin baduzu, Marcus du Satoy matematikariaren laguntzaz:
Aski ezaguna dugu denok Pitagorasen teorema, zeinaren arabera edozein triangelu zuzenetan, hipotenusaren karratua bi katetoen karratuen arteko baturaren berdina da. Aljebraren bidez adierazten badugu aho-korapilo hau, triangeluaren aldeen luzerak a, b eta c hizkiekin adierazita honelaxe geratzen da:
Pitagoras-en teoremaren demostrazioetako bat
Jakin badakigu soluzio oso desberdinak badaudela (hamartarrik gabekoak), goiko marrazkian ikus dezakegun bezala (9 + 16 = 25 betetzen baita), eta ez da zaila pentsatzea berretzaileak igotzen baldin bagoaz, gauza bera gertatuko dela. Esaterako, berretzailea 3 bada, hau da, karratuen ordez kuboetan pentsatzen badugu, erraza da soluzioen bila jartzea, baina hara non sorpresa: berretzailea 2 baino handiagoa bada, ez dago soluzio osorik!
Dirudienez, Pierre Fermat matematikazale frantsesak ohartarazi zigun lehendabiziko aldiz bitxikeria honetaz (nire ikasleen artean frantsesa ikasten ari diren horiei bereziki eskainia):
Zergatik deitu diot gizon honi matematikazale zirikatzailea? Soilik soluzio osoak baimentzen dituzten ekuazioei diofantiko deitzen diegu, Diofanto izan baitzen haiek aztertzen lehendabizikoa antzinako Grezian. Fermat Diofantoren Aritmetica liburua irakurtzen ari zela, marjinean ondokoa idatzi zuen:
"Ezinezkoa da karratua baino handiagoko edozein berretura, mota bereko beste bi berreturen arteko baturaren bidez lortzea. Demostrazio zoragarri bat lortu dut, baina liburu honen marjina txikiegia da hura idazteko".
Eta horrelaxe, patxada horrekin, Fermat 1665. urtean hil zen eta jendeak ezin izan zuen jakin esaldi hura egia zen ala ez. Fermat-en Azken Teoremaren baieztapen horrek kezkaz beterik izan ditu ia 400 urtetan zehar mundu osoko matematikariak:
1753.ean Eulerrek n=3 kasua demostratu zuen.
1825.ean Legendre eta Dirichlet-ek independienteki n=5 kasua demostratu zuten.
1839.ean Lamé-k n=7 kasua demostratu zuen.
Urteetan zehar n kasu guztien demostrazio okerrak izan ziren.
1995. urtean Andrew Wiles matematikariak benetako demostrazioa argitaratu zuen (bi urte lehenago aurkeztu zuen baina ez zen erabat egokia, eta konponketa batzuen ostean, lortu zuen behin betikoa). Zortzi urtetan zehar isilpean eta ezkutuan egin omen zuen lan hura lortzeko! Gure ikasketetan ere irmotasun hori edukiko bagenu...
Informazio gehiago ondoko bideoan:
Eskerrik asko: Malena Martín , Anne Rooney, Tony Crilly, Claudi Alsina.
Frantzian XVII. mendean nabarmentzeko moduko bi matematikari aurkitzen ditugu: Fermat eta Descartes.
Apolonio grekoaren koniken liburua aztertu bitartean, Fermat leku geometrikoak lantzen zebilen, hau da, planoan edo espazioan baldintza geometriko zehatz batzuk betetzen dituzten puntu guztiek sortzen dituzten irudiak. Fermat ondokoaz ohartu zen: puntuei ezarritako baldintzak bi ezezaguneko ekuazio bakar baten bidez adierazi bazitezkeen, leku geometrikoa kurba bat izango zen. Hau egin eta gero, ekuazioen adibide batzuk landu zituen, zer nolako kurba sortzen zuten aztertzeko. Labur esanda, Fermat ardatzak eta koordenatuak barneratzen ari zen.
Hala eta guztiz ere, koordenatuen adierazpen modernoa Descartesen filosofo eta matematikariaren eskutik etorri zen. Alfabetoaren hasierako hizkiak (a, b, c) kantitate ezagunak izendatzeko erabili zituen eta bukaerako hizkiak (x, y, z) kantitate ezezagunak adierazteko. Gaur egungo berretura eta eragiketen adierazpen berdina erabili zuen, berdin ikurrarena izan ezik.
Descartesen aurrerapausoa Geometria eta Algebra bateratzea izan zen. Kurbak ez ziren jada geometrikoki eraikitako objektuak, algebraikoki definitu ahal ziren objektuak baizik. Hortaz, planoan puntu bat definitzeko bi zenbaki behar ditugu eta ekuazioak kurba bat definitzen du; espazioan, aldiz, hiru koordenatu behar ditugu eta ekuazioak gainazal bat eraikiko du. Honek edozein dimentsiotako objetuak definitzeko aukera eman zuen, algebrarekin nahikoa baitzen. Inoiz bururatu al zaizu ekuazio batean ezezagunei balioak emanez irudiak sortuko zirela? Zuk zeuk froga dezakezu Geogebraren bitartez, deskargatu eta irudi bitxiak lortuko dituzu. Saia zaitez ondokoarekin, ea ze irudi ateratzen zaizun:
$${ ({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-1 })^{ 3 }-{ x }^{ 2 }{ y }^{ 3 }=0$$
Descartesek koordenatu kartesiarren sistema burutu zuen, baina balio negatiboak adierazi gabe eta angelu zeiharrak erabiliz ardatzen artean (gaur egungoa, zenbaki positibo zein negatiboekin, eta ardatz perpendikularrekin Newtonek erabilil zuen XVII-XVIII. mendean). Ondorengo matematikariek beste koordenatu mota batzuk proposatu zituzten kurba zailagoak adierazteko: koordenatu polarrak, koordenatu esferikoak...
Azkenik, koordenatuek bidea ireki zuten funtzioak grafikoki adierazteko balio bikote hauei esker (x-en balio bakoitzarentzat, f(x) kalkulatu eta balio bikotea ardatzetan irudikatzea besterik ez zen).
