Pitagorikoen elkarte sekretua

Pitagoras, K.a. VI. mendean Greziako Samos irlan jaiotako matematikari, filosofo eta profeta izan zen, erlijio-sinesmenak ere zabaltzen zituelako. Egiptora, Babiloniara eta Indiara bidaiatu zuen, eta bidaia luze horietan matematika eta astronomia ezagutzez gain, erlijio-jakintza handia bereganatu zuen.  Mundu greziarrera itzuli zenean Krotona izeneko hirian finkatu zen (gaur egungo Italian), eta han elkarte sekretu bat sortu zuen, oinarri matematiko eta filosofiko zabalarekin. Pitagorasek sortutako sekta antzeko horretan, ezagutzak eta jabetzak komunitate barruan mantentzen ziren, dena denena zen eta, beraz, egindako aurkikuntzak ez ziren zehazki kide batenak, guztienak baizik. Horregatik, aurkikuntza matematiko bat Pitagorasena dela esan ordez, pitagorikoek lortutakoa dela esatea egokiagoa da.

Pitagorikoak. Eguzki berriari himnoa F. Bronnikov-en margolana. Wikipedia

Pitagorikoek oso jokabide-arau zorrotzak zituzten. Sektako kideei erregimen begetariano zorrotza ezartzen zitzaien, dirudienez beraien ustez pertsonak hil ondoren haien arimak beste animalia batzuengan berraragitzen zirelako eta, ondorioz, hildako lagun baten arimaren bizileku berria izan zitekeen beldurrez, ez zen animaliarik sakrifikatu behar. Hortaz, debekatuta zeukaten haragia edo arraina jatea.

Arimaren irudikapena. Bioguia

Zaila da benetan gizon honi dagokion guztian historia eta kondaira den bereiztea, herriko jendearentzat filosofo, astronomo, matematikari, santu, profeta, azti... hainbeste gauza desberdin zelako. Hala ere, bere garaiko historian eragin handiena izan zuen pertsonetako bat izan zela ezin da ukatu, bere jarraitzaileek (engainatuta edo inspiratuta) bere sinesmenak zabaldu zituztelako greziar munduaren zatirik handienean.

Arima beste norbaitengan agertzea, arau zorrotz eta erritoen bidez lortzen zen, baina filosofia eta matematika ere funtsezko atalak ziren, eta matematikak ez du inoiz jokatu bizitzan pitagorikoen artean bezain paper garrantzitsurik. Badirudi filosofia (jakinduriarekiko maitasuna) eta matematika (ikasten dena) hitzak Pitagorasek bere jarduera intelektualak deskribatzeko sortuak direla. Kontutan hartu behar dugu bi jakintza mota ezberdin zabaltzen zituela: bata eskolako kideen artean eta bestea herriko jendearengan.

Bestalde, pitagorikoentzat zenbaki bakoitzak ezaugarri bereziak zituen, baina guztietan sakratuena hamar zenbakia edo tetractis-a zen, unibertsoaren zenbakia adierazten zuelako. Puntu bakarra dimentsioak sortzen ditu, bi puntuk zuzen bat zehazten dute (dimentsio 1), lerrokatu gabeko hiru puntuk triangelu bat zehazten dute (2 dimentsio), eta plano berekoak ez diren lau puntuk tetraedro bat zehazten dute (3 dimentsia); beraz, zenbaki horien baturak dimentsio guztiak adierazten ditu: 1 + 2 + 3 + 4 = 10.

 

Zenbaki triangeluar batzuk. Site de curiosidades

Eskola pitagorikoaren leloa hauxe zen: "dena zenbakia da". Beraientzat, ezagutu daitezkeen gauza guztiek zenbakia dute, nola edo hala. Historiaren arabera, musikan Pitagorasek zioen bibratzen duen soka bat zenbaki osoen arteko proportzioan zapalduz gero, soinu armoniosoak entzungo zirela. Adibidez: 

- Soka 2:3 proportzioan zapalduta, bostena joko du (oinarria Do baldin bada, Sol entzungo da).- Soka 3:4 proportzioan zapalduta, laugarrena joko du (oinarria Do baldin bada, Fa entzungo da).   Antzinako pitagorikoek hain irudimen ausarta erakutsi zuten, berehala zabaldu zituztela beren emaitzak, eta zeruko gorputzek ere soinu harmoniotsuak igortzen zituztela ondorioztatu zuten. Berriz ere, pentsamendu zorrotzaren eta espekulazio fantastikoaren nahasketa bitxia zen. Argi dago irudimena ez zitzaiela falta!

Esferen musika. Cultura científica

 

Informazio iturria: Carl Boyer-en Historia de la matemática.

Pitagorasen teorema, ez zuen Pitagorasek aurkitu!

Pitagoras Samoskoa

Maiz entzungo zenuen Pitagorasen teorema, baina zer da teorema bat? Baieztapen edo esaldi bat besterik ez da, beti egia izango dena, froga matematikoak erabiliz hala demostratu delako. Beste modu batera esanda, matematikariei buruhausteak ekarri dizkieten ideia horietakoak, behin kalkuluak eta frogak eginda, betirako lasai uzten dituena.



Eta nor ote zen Pitagoras famatu hori? Greziako Samos irlako gizon bat omen zen (K.a. VI. mendean jaiotakoa), nahiko bitxia dirudienez. Bere bizitzak liburu bat beteko luke, baina orain ez da horretarako momentua.


Hortaz, bi kontzeptu horiek argi utzita, hortxe doa teorema ospetsua: "triangelu zuzen guztietan, hipotenusaren karratua katetoen karratuen baturaren berdina da". Horixe da dena. Gustura geratuko zen gure Pitagoras jauna, ezta? Hipotenusa angelu zuzenaren aurrean dagoen aldea da (luzeena), eta katetoak gainontzeko bi aldeak (motzenak). Karratuak esaten direnean, berbiduraz ari gara.

Esan beharra dago esaldiaren bi norantzak kontutan hartu behar ditugula: alde batetik, triangelu zuzen guztien aldeek beteko dutela formula hori; bestetik, formula hori betetzen duten alde-hirukote guztiek, triangelu zuzen bat osatuko dutela.

Hala eta guztiz ere, oraindik gakoa argitu gabe dugu: izan al zen gizon bitxi hori teorema aurkitu zuena? Merezi al du bere izenak eskola liburu guztietan agertzea? Bera izan zen Antzinako Grezia garaian teoremaren lehenengo demostrazio formala eman zuena (momentu hartako matematikarien helburua dena frogatzea zen), baina teorema milaka urte lehenago ezagutzen zen.

Antzinako Egipton (K.a. 3100. urtearen inguruan), Nilo ibaiaren uholdeen erruz inguruko lursailak urtez urte berriro neurtu behar zituzten. Neurketa horiek egiteko 13 korapiloko soka erabiltzen zen, 3-4-5 aldeak dituen triangelu horrek angelu zuzena ziurtatzen zuelako. Zuk zeuk froga dezakegu ea zenbaki-hirukote horrek Pitagorasen teorema betetzen duen ala ez: 5en karratua, ba al da 3 eta 4ren karratuen baturaren berdina? Egin kalkuluak.

Babiloniako zibiliazioan ere (K.a. 1800. urtearen inguruan), buztinezko tauletan Pitagorasen teorema betetzen zuten zenbaki-hirukote horien adibideak agertzen zaizkigu, ziurrenik irakasleek ikasleei proposaturiko ariketa gisa eta teoremaren kontzientziarik gabe. Hirukote pitagorikoen multiploak ere kontutan har ditzakegu: adibidez, (3,4,5) aldeen triangelua zuzena da, beraz (6,8,10) edo (9, 12, 15) ere izango dira. Aukerak mugagabeak dira.

Hirukote pitagoriko batzuk

  
Txinan K.a. 1000. urtearen inguruan teoremaren ezagupena eta lehen demostrazioa ere aurki ditzakegu, Matematikako artearen lehen bederatzi kapituluak izeneko obran.

Laburbilduz, teorema aldez aurretik ezagutzen bazen ere, Pitagorasi demostrazioaren meritua zor diogu. Ez hori bakarrik! Orduz geroztik, historian zehar demostrazio gehien izan dituen teorema izan da. Adibide gisa,  1940. urtean Loomis-ek teoremaren 367 froga bildu zituen liburu batean. Nork pentsa lezake erlazio berera iristeko hainbeste bide desberdin dauzkagula? Beheko irudian klik eginez, GeoGebra tresnaren bidez demostrazio horietako batzuk aurkituko dituzu, eta horiek eredutzat hartuta, kartulina eta guraizeekin zuk zeuk eraiki dezakezu zeure demostrazioaren puzle propioa. Anima zaitez!

Pitagorasen teoremaren demostrazioetako baten irudia

Eta haratago joan nahi baduzu, zeure tramankulu propioa eraiki dezakezu. Hona hemen beste adibide bat:

Eskerrik asko: Marcus du Satoy, Manuel Sada, Clifford A. Pickover, Anne Rooney.

Fermat matematikazale zirikatzailea

Aski ezaguna dugu denok Pitagorasen teorema, zeinaren arabera edozein triangelu zuzenetan, hipotenusaren karratua bi katetoen karratuen arteko baturaren berdina da. Aljebraren bidez adierazten badugu aho-korapilo hau, triangeluaren aldeen luzerak a, b eta c hizkiekin adierazita honelaxe geratzen da:

Pitagoras-en teoremaren demostrazioetako bat

 

Jakin badakigu soluzio oso desberdinak badaudela (hamartarrik gabekoak), goiko marrazkian ikus dezakegun bezala (9 + 16 = 25 betetzen baita), eta ez da zaila pentsatzea berretzaileak igotzen baldin bagoaz, gauza bera gertatuko dela. Esaterako, berretzailea 3 bada, hau da, karratuen ordez kuboetan pentsatzen badugu, erraza da soluzioen bila jartzea, baina hara non sorpresa: berretzailea 2 baino handiagoa bada, ez dago soluzio osorik!

Dirudienez, Pierre Fermat matematikazale frantsesak ohartarazi zigun lehendabiziko aldiz bitxikeria honetaz (nire ikasleen artean frantsesa ikasten ari diren horiei bereziki eskainia):

Zergatik deitu diot gizon honi matematikazale zirikatzailea? Soilik soluzio osoak baimentzen dituzten ekuazioei diofantiko deitzen diegu, Diofanto izan baitzen haiek aztertzen lehendabizikoa antzinako Grezian. Fermat Diofantoren Aritmetica liburua irakurtzen ari zela, marjinean ondokoa idatzi zuen: 

"Ezinezkoa da karratua baino handiagoko edozein berretura, mota bereko beste bi berreturen arteko baturaren bidez lortzea. Demostrazio zoragarri bat lortu dut, baina liburu honen marjina txikiegia da hura idazteko".

Eta horrelaxe, patxada horrekin, Fermat 1665. urtean hil zen eta jendeak ezin izan zuen jakin esaldi hura egia zen ala ez. Fermat-en Azken Teoremaren baieztapen horrek kezkaz beterik izan ditu ia 400 urtetan zehar mundu osoko matematikariak:

• 1753.ean Eulerrek n=3 kasua demostratu zuen.
• 1825.ean Legendre eta Dirichlet-ek independienteki n=5 kasua demostratu zuten.
• 1839.ean Lamé-k n=7 kasua demostratu zuen.
• Urteetan zehar n kasu guztien demostrazio okerrak izan ziren.
• 1995. urtean Andrew Wiles matematikariak benetako demostrazioa argitaratu zuen (bi urte lehenago aurkeztu zuen baina ez zen erabat egokia, eta konponketa batzuen ostean, lortu zuen behin betikoa). Zortzi urtetan zehar isilpean eta ezkutuan egin omen zuen lan hura lortzeko! Gure ikasketetan ere irmotasun hori edukiko bagenu...

Informazio gehiago ondoko bideoan:

Eskerrik asko: Malena Martín , Anne Rooney, Tony Crilly, Claudi Alsina.

Erahilketa erro karratu batengatik

Atenasko eskola

Hipasoren heriotza

Erro karratuak, ikasleei buruhauste gehien sortarazten dizkien kontzeptu matematiko madarikatua. Gezurra badirudi ere, lehendabiziko agerpen isilak duela 2600 urte inguru hasi ziren!

K.a. V. mendeko Grezia klasikoan, Eskola pitagorikoa astronomo, musikari, matematikari eta filosofoen erakunde mistiko bat zen. Pitagorikoek, unibertso osoa zenbaki arrunt eta zatikien bidez azaldu zitekeela uste zuten; gaur egun badakigu arruntak eta arrazionalak ez direla zenbaki mota bakarrak, baina orduko ezagutzan ez zegoen beste zenbaki mota batentzako lekurik.  

Metapontoko Hipaso delakoak (K.a. 500. urtearen inguruan jaioa), aldiz, unitate bateko aldea zuen karratuaren diagonala neurtu nahian zebilenean, zenbaki bitxi eta neurtezin batekin topo egin zuen: bi-ren erro karratua, hain zuzen. Pitagorasen teorema aplikatuz, saia zaitez lortzen aldea 1 duen karratu baten diagonala, ea zer ateratzen zaizun. 

Hipasok ez zituen gure gaur egungo idazkera eta prozedura erabiliko, baina argi dago zatiki eran adierazi ezin zen zenbaki berri bat aurkitu zuela, hau da, zenbaki irrazional bat: bi-ren erro karratua. Eta gainera Pitagorasen teorema erabiliz!  

Hau kontraesana!!! Legendak dioenez, Hipasok bere aurkikuntza itsasontzi batean zihoaztenean kontatu zuen, eta ideia hura zabaltzerakoan, uretara bota egin zuten, itota hil zelarik. Aurkikuntza ikaragarria onartu ordez, talde misteriotsu honetako parteideak, norbait haiekin kontraesanetan jartzea eta haien ideiak apurtzearen beldur ziren.

Kontraesankorra badirudi ere, pitagorikoen aurka zihoan emaitza bat Pitagorasen teoremaren bidez lortu zen; eta ez zen hura izan bitxikeria bakarra! Haien sektaren sinboloa pentagrama edo pentagono izartua zen, eta bertan ere aurkitzen zen beste zenbaki irrazional bat: urrezko zenbakia hain zuzen, blog honetako beste mezu batean sakonago azalduta topatuko duzuna. Pentagonoaren diagonala eta bere alde baten arteko zatiketa eginez lortzen da, edozein pentagono erregularretan! Saiatu zu zeu hemen klik eginez.

Eskerrik asko: Anne Rooney, IES Pravia.