Tirabirak ekuazioen soluzioak aurkitzeagatik

Bigarren mailako ekuazio polinomikoen ebazpena antzinatik ezagutzen dela badakigu, eta gainera eskolan erakusten den ebazpen ospetsuenetako bat da. Baina zer dakigu 3. maila eta goragoko ekuazioen inguruan? Abentura honetan Berpizkundeko bi italiar aurkitzen ditugu: Niccolò Fontana (Tartaglia ezizenarekin ezaguna, haren toteltasuna zela eta) eta Girolamo Cardano, biak XVI. mendekoak. Haien izan ziren matematikarien arteko borroka ezagunenetako baten protagonistak, ondorengo lerroetan jabetuko zaren bezala.

1545. urtea erabakigarria bihurtu zen algebraren munduan, orduan argitaratu baitzituen Cardanok 3. eta 4. mailako ekuazio polinomikoen soluzioak bere Ars Magna izeneko liburuan. Baina.... berak ez zuen bat ere lortu!!! 3. mailako ekuazioak ebazteko formula aurretik Tartagliak lortu zuen, baina badirudi Cardanori kontatu ziola honek gero argitaratuko ez zuela konpromezua hartuz. A ze konpromezua! Orduz geroztik bien arteko liskarra eta haserrea galanta izan zen. Eta 4. mailako ekuazioen ebazpena ere Ludovico Ferrari bere idazkariak aurkitu zuen. Harrigarria!

Zergatik orduan egin zuen hau Cardanok? Bera eta bere idazkariari, haien aldetik 4. mailako ekuazioekin lanean zeudelarik, oso aproposa iruditu zitzaien Tartagliak bere soluzioa ematea haien lanarekin aurrerapen handiagoak egin ahal izateko. Dena den, jarri ahalko zenituzke zure izenpean beste norbaitek lortutako aurkikuntzak? Batak ala besteak, 3. eta 4. mailako ekuazioak ebazteko formulak aurkitu egin zituzten, erabiltzeko errazegiak ez baziren ere (horrexegatik ez ditugu ipiniko hemen; zuk zeuk ikertu nahi baduzu, animatzen zaitut).

Niels Abel

Eta zer gertatzen zen 5. maila edo goragoko ekuazio orokorrekin? XVI. mendetik aurrera matematikariak jo ta ke ibili ziren ebazpen horren bila, baina ez zen izan 1824. urtera arte Niels Abel gazteak (soilik 19 urterekin) emaitza lortu zuenean. Eta hara non ustekabea: ez zegoen formularik!!! Abel-ek demostratu zuen ez zela posible topatzea 5. maila edo goragoko ekuazio orokorrak ebazteko formula algebraikorik.

Espero al zenuen hau? Garaiko matematikariek ez, eta horrexegatik haietako batzuek oraindik jarraitu zuten XIX. mendean zehar soluzio desiratuaren bila.

Eskerrik asko: Carl B. Boyer, Tony Crilly,

Urrezko zenbaki bitxia

Ez dakit egongo den zenbaki miresgarriagorik matematikan... Toki guztietatik agertzen da, espero ez den adierazpen gisa gainera. Phi izenarekin ezagutzen da, ziurrenik bere obretan kontutan hartu zuen Phidias eskultore grekoaren omenez, eta 1'61803... hasten den zenbaki irrazional hau da:

Bere lehen agerpena K.a. 2600. urtearen inguruan izan zen Egipton, Keops-eko piramide nagusiaren neurrietan agertzen baita hiru neurri desberdinetan; horietako bat: piramidearen triangeluetako baten altuera eta ertzaren arteko zatiketa bi aldiz phi da. Grezia klasikoan dugu bere erabilera anitzaren abiapuntua Atenasko Partenoiaren proportzioetan, geroago zenbait artistek erabilera hori zabaldu zutelarik (adibidez, Leonardo da Vinciren Gioconda pintura ospetsuan).

Hala ere, bere azterketa sakonagoa Euklides eta Platonen eskuetatik datorkigu hori dena baino lehen: "zuzenki bat urrezko proportzioan egongo da zatiturik, zuzenki eta zati handienaren artean, zati handien eta txikienaren arteko proportzioaren berdina denean". Erlazio hori ebaztean agertzen zaigu, hain zuzen, zenbaki irrazional hau, x^2-2x-1 = 0 ekuazioaren soluzio gisa (egiaztatu dezakezu, jadanik ezaguna duzun bigarren mailako ekuazioen formula erabiliz...).

Aritmetikako zenbait eragiketetan ere agertzen da espero ez den modu batean, alboko bi eragiketetan ikus dezakegun bezala.

Baina bere agerpenik interesgarrienetako bat geometrian aurkitzen da, oso modu desberdinetan agertzen baita: urrezko laukizuzenean, pentagraman edota espiral logaritmikoan. Eta ez hori bakarrik: hain egokia eta polita iruditzen zaigu proportzio hau, gaur egungo gauzarik arruntenetan ere badagoela, kreditu txartelen neurrian, besteak beste (alde luzea alde motzarekin zatituz lortuko duzu).

Fibonacci italiarrak XIII. mendearen hasieran bere segida ospetsuaren gaiak aurrekoekin zatituz lortzen zela ere ohartu zen, eta horrek urrezko zenbakiaren agerpena dakarkigu, esaterako, naturaren alor askotan. Beheko lehendabiziko irudian "Nautilus" moluskua ikus dezakegu. Espiral logaritmiko baten arabera dago egina, eta espiral hau urrezko laukizuzenen arabera definitua dagoela egiazta dezakegu irudian.

Bigarren irudiari dagokionez, Leonardo da Vinci izan zen gorputzaren proportzio orekatuak marrazki honetan adierazi zituena. Ondoren, Luca Pacioli-k 1509. urtean argitaratutako liburuaren azalean agertzen da; liburu horretan, eraikinen eta giza gorputzaren proportziorik egokienak zeintzuk diren idazten du, eta dirudienez, gizakiaren altuera (karratuaren aldea) eta zilborretik eskuraino dagoen distantzia (zirkunferentziaren erradioa) zatituz, urrezko zenbakia lortzen da.

Azkenik, eta goiko hirugarren irudia arreta handiz begiratzen badugu, Fibonacci-ren segidaren zenbakietako batzuk aurkituko ditugu gure behatzen falangeen luzeran: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... Lehen esan den bezala, ondoko gaia aurrekoarekin zatituz berriz ere hurbiltzen gara urrezko zenbakiaren baliora: 1'618... Hau omnipresentea, baita gure gorputzean ere aurki behar ditxosozko zenbaki hau! Saia zaitez zure eskuan, agian urrezko zenbakia aurkituko duzu eta.

Dena den, hau laburpen txiki bat besterik ez da izan, zenbaki bitxi eta misteriotsu honi buruzko informazio izugarri baitago; zuen irudimen eta jakinduriari opari bat egiteko, hemen dauzkazue interesgarriak suerta daitezkeen zenbait esteka:

Eskerrik asko Cristobal Vila, TVE2, Ignacio Langarita, Lolita Brain, Junta de Andalucía.