11 ogi bost pertsonen artean banatu nahi baditut

Nor ez da erotu zatikien arteko eragiketak ikasterakoan? Jakin ezazu gaur egun zorte handia daukazula, ez zitzaizulako tokatu Egiptoko zatikiak erabiltzen ikastea. Horiek bai zailak! Ezagutu izan bazenitu, orain gehiago baloratuko zenuke gure zatiki maiteen sinpletasuna. Goazen ikustera ea nondik datorren beraien istorioa.

Harrizko Aroko gizakiek ez zuten zatikirik erabili behar, baina Brontze Aroan maila kultural aurreratuagoa lortu zenez, lehen aldiz agertu zen kontzeptuaren beharra eta zatikien notazioa.

Antzinako Egipto (K.a. 1800 inguru)

Denok argi daukagu nola banatu modu berean 10 ogi 5 pertsonen artean, baina nola egin dezakegu  hamaika ogi bost pertsonen artean banatzeko? Edo nola neurtuko dugu objektu bat patroi baten arabera, kopuru zehatza ez bada? Banaketa proportzionala egiteko edota neurtzeko beharra sortu zirenean, zenbaki arrazionalak erabiltzeko premia sortu zen (gogoratu: arrazionalak, zatiki moduan adierazi daitezkeen zenbakiak dira).

Ogia (cocinatis.com)

 

Zatikien lehen erabilera idatzia egiptoarrei zor diegu. Bizitza arrunteko arazoak konpontzeko sortu ziren: langileei janari eta edariekin ordaintzen zitzaienez, adibidez 7 ogi puska 10 pertsonei banatzen jakiteko, zatikiak menperatu behar zituzten. Hori bai: bakarrik zenbakitzailea 1ekoa zuten zatikiak erabiltzen ziren (zatiki unitarioak). Modu honetan adierazten zituzten:

Zatiki egiptoarrak (soymatematicas.com/fracciones)

Zuk pentsatzeko: nola idatziko zenuke 1/99 zatikia Antzinako Egipton bezala?

Egiptoarrek zatikiekin lan egiteko modu bitxia zuten. Bakarrik zatiki unitarioak erabiltzen zituzten, hau da, zenbakitzailea 1 zutenak, 2/3 zatikia izan ezik. Zatiki hau oso berezia zen, izan ere, kopuru baten herena kalkulatzeko, lehenik 2/3 aplikatu eta gero horren erdia lortzen zuten. Ze korapilatsuak!

Ezin zutenez beste zenbakitzaile bat adierazi, dena zatiki unitarioen bidez adierazten zuten, eta, gainera, zatiki horiek gainera ezin ziren errepikatu:

 Imajinatu ondoko egoera: harategira zoaz, eta saltzaileari 2/5 kilo haragi eskatu beharrean, 1/3+1/15 haragi eskatzen diozu. Zer aurpegi geratuko litzaioke dendariari?    Antzinako Babilonia (K.a.1600 inguru)  Babiloniarren aritmetika eta aljebra nagusiagoak izan ziren, egiptoarrekin konparatuta, baina...zein izan zen haien sekretua? Zenbakien printzipio posizionala (zifra bakoitza, okupatutako posizioaren araberakoa izatea) zatikietan ere erabili zuten, eta hori oso erabaki ona izan zen. Horri esker, gaur egun zati hamartarrekin dugun kalkulu sinpletasun guztia eskura izan zuten.

   Antzinako Grezia
Antzinako greziar notazio-sistemak bere ahulguneak erakusten zituen zatikien tratamenduan. Hasieran, zatiki unitarioak erabiltzen zituzten, egiptoarrek bezala, eta izendatzailearen eskuinaldean azentu bat jarriz irudikatzen zituzten, nahasgarria izan zitekeena, honek azken zifrari edo batzuei eragiten ahal zielako:

Ondorengo mendeetan, ohiko zatikiak eta sexagesimalak (60 oinarrikoak) gehiago erabiltzen hasi ziren. Azken horiek astronomia eta fisikako tresna bihurtu ziren, baina posible da jendeak garai hartan ez erabiltzea. Zatikiak zenbakitzailea izendatzailearen azpian jarriz idazten ziren (gaurkoaren alderantzizkoa), eta egungo banaketa-barra gabe (lerroa). Nolanahi ere, Heronek nahiago izan zuen Egiptoko zati zaharrak erabiltzea; bere ondoren, zatiki unitarioen zaletasun hori oraindik mila urtez luzatu zen Europan, Heronen garaiaren ondoren behintzat.   

Txina (K.o. 100. urte inguru)

Txinatarrek ongi ezagutzen zituzten zatiki arruntekin egindako eragiketak, baita zenbait zatikiren izendatzailearen multiplo komun minimoa aurkitzen ere (ziur aski zuk ere jakingo duzu). Gainera, Txinan zatikiak dezimalizatzeko joera zuten (10en multiplo izendatzailea). Sexu desberdinekiko konparaketak ezartzen zituzten: zenbakitzailea semea zen eta izendatzailea ama. Horrek arauak ikastea errazten zien.

iStock

Europa (Erdi Aroa)
 Historiako ironia nabarmenetako bat hauxe izan zen: zenbakien sistema posizionalak (zifra bakoitzak balio ezberdina daukana posizioaren arabera) bizitza errazten badigu, zergatik kostatu zitzaien hainbeste zatikietan ere aplikatzea? Mila urte igaro behar izan ziren, zifra indiar-arabiarrak barneratu zituztenek, zatikiak ere horrela lantzeko.
Horretan, Fibonaccik (1202ko Liber abaci) beste batzuek adina erru izan zuen, hiru zati-mota erabili zituelako (komunak, unitarioak eta sexagesimalak), baina inoiz ez hamartarrak. Hau eromena!

Fibonaccik oso gustoko zituen Egiptoko zatiki unitarioak; bere lanetan, zatiki komunetatik unitarioetara bihurtzeko zenbait taula daude. Gizajoa Erdi Aroko negozio-gizona, halako sistema erabili behar izateagatik diru-konbertsioetarako!
Zuk pentsatzeko: zatiki unitario hauekin, ba al dakizu zein zatiki adierazten ari garen?

Nolanahi ere, gaur egun bezala zatiketaren lerroa erabili zuen lehen matematikari europarra bera izan zen: Fibonacci.

Eskerrik asko: Carl B. Boyer

Nola zenbatuko zenuke zenbakiak erabili gabe?

Duela 5000 urte inguru, Antzinako Mesopotamian, abereen kontrola eramateko, lurraldeen mugak neurtzeko eta merkataritzan aritzeko, zenbakien beharra sortu zen. Baina gaur egungo zenbakiak existitzen ez baziren, nola zenbatuko zuten K.a. III. milurtekoko gizakiek? Uda garaia iristen zenean artaldeak iparraldeko lurraldeetara mugitzen zituzten. Jabeek ardiak artzainen esku uzten zituzten, hilabete batzuetan zehar zaindu eta berriz bueltatzeko. Dena den, nola jakin zenbat ardi itzuli behar zituzten?

Horretarako, buztinezko fitxak erabiltzen zituzten: zenbat fitxa, hainbat ardi. Fitxa horiek buztinezko ontzietan gordetzen zituzten, baina bitartean nor arduratuko zen ontzia gordetzeaz? Nortaz fidatu? Orduan, aurrerago ontziak itxita uzten ziren, baina horrek jabeei ere arazoak ematen zizkien, negozioak egiteko uneoro jakin behar zutelako zenbat ardi zeuzkaten, eta gogoratu, oraindik zenbakiak ez ziren existitzen! Eta ez hori bakarrik, artaldeetan milaka ardi ziren. Beraz, ontzien kanpoan ere markak eginez jakingo zuten zenbat ardi ziren.

Hori dela eta, duela 4000 urte inguru babiloniarrek ideia bikaina izan zuten: zertarako prestatu milaka fitxa eta ontzitxo, kanpoko markak nahikoak badira jakiteko artaldearen tamaina? Horrekin sistema hobeago bat garatu zuten: buztinezko taulatxoak. Buztinezko pieza txikietan puntzoi batez markak egin eta ondoren buztina egosiz, zenbaki handiak idazteko aukera izan zuten: idazkera kuneiformea deitzen da. Metodo honi esker iritsi zaizkigu aztarna hauek milaka urte igaro ondoren.

Babiloniarren zenbatzeko sisteman bi ikur erabiltzen ziren: iltzea 1 zenbakiarentzako eta galburua 10 adierazteko. Sistemak 60 oinarria zuen (gaur egun denbora eta angeluak neurtzeko erabiltzen duguna bezala), eta horrek zer esan nahi du? Ba 1etik 59ra doazen zenbakiak idazteko ikurrak pilatu egiten zirela:

 

Zenbakiak idazkera kuneiformean

 

Aldiz, 60tik aurrerako zenbakietarako multzoak egiten ziren; multzo horiek okupatutako posizioaren arabera, balio desberdina hartzen zuten. Adibidez,  1859 zenbakia hala adierazten zen:

Sistema horrek posizioari esker idazkera errazten zuen, baina oraindik ere gabezia handi bat zeukaten: ez zegoen zeroa edo posizio hutsa adierazteko modurik. Hasiera batean, 22 edo 202 zenbakiak adierazteko bi markako bi multzo adierazten zituzten, azkenaren kasuan hutsune txiki bat utziz, baina horrek zalantza asko sortzen zituen.

 

 

Antzinako Egipton, Mesopotamiako lurraldeetatik hurbil, K.a. III. milurtekoaren hasieran ere idazkera garatu zuten, baina beste sinbolo batzuekin:

Beraien zenbatzeko sistemak oinarria 10 zuen, gurearen antzera. Irudikatzeko sistema oso polita izan zitekeen, baina ez zen oso erosoa. Zenbakiak ikur horiek errepikatuz lortzen ziren, baina posizioa kontutan hartu gabe. Hala, bederatzi zenbakia adierazteko, 1 zenbakiaren irudia bederatzi aldiz idatzi behar zen.

Adibidez 4622 zenbakia idazteko, milakoen ikurra 4 aldiz, ehunekoen ikurra 6 aldiz, hamarrekoen ikurra 2 aldiz eta unitateen ikurra 2 aldiz irudikatu behar ziren. Baina, zer gertatzen da 999 999 bezalako zenbakiekin? Zenbat ikur idatzi beharko genituzke? Ba al da praktikoa idazteko modu batukor hori?

Egiptoarrek ez zuten hau dena buztinean idazten, horren ordez haien materiala papiroa zen.

Rhind papiroaren zati bat

XIX. mendean Rhind izeneko aditu batek papiro ospetsu bat erosi zuen, eta hortik dakigu zer nolako matematika egiten zen Antzinako Egipton: zatikien buruketak, piramideen azalera eta bolumenen kalkuluak, proportzionaltasun problemak... buruketak beteriko dokumentua da. Ordutik, Rhind papiroa (aurkitutako pertsonaren omenean) edo Ahmes-en papiroa (idazlearen omenean) deitzen da.

Hala eta guztiz ere, inperio hauek guztiek behera egin zutenean, ezagutza hauek guztiak bertan behera geratu ziren, eta milaka urte igaro behar izan ziren berriz ere aurkikuntza hauek ezagutzeko.

Bitartean, Amerikako maien zibilizazioan oinarria 20koa aplikatu zuten.

Ondoren Erromatarrak iritsi ziren. Haien sistema nahiko kaxkarra zen, batez ere eragiketak egiteko. Denok ezagutzen ditugu zifra erromatarrak, baina seguruenik ez dugu ezagutuko batuketak eta kenketak egiteko zuten era korapilatsua:

Goiko taula horretatik ondoriozta dezakegu, beraz, erromatarren zenbaki-sistema ez zela batere erosoa eta etorkizunean ez zuela arrakasta handirik izango.

 

 

Baina... munduari zenbat buelta gehiago eman behar dizkiogu behingoz gure zenbakiak aurkitzeko? Hiru pauso besterik ez dira falta gure zenbakien jatorria ulertzeko: Indian sortu, arabiarrek erabili eta Europan zabaldu:

Zifra horiek posizioaren araberako sistema-hamartar batean erabiltzen ziren, hau da, zifra bakoitzak okupatutako posizioaren arabera, hamarren berretura zehatza adierazi nahi zuen. Soilik hamar ikur erabiliz, posible zen edozein zenbaki adieraztea. A ze diferentzia egiptoarren metodoarekin!

 

Laburbilduz, gaur egun zenbakiak adierazteko dugun era eta erabiltzen ditugun ikurrak, beraz, Indiatik datozela esan dezakegu. Baina nola iritsi ziren handik gure herrialdeetara? Ekialdeko jakintsuak Bagdad hirira erakarri ziren, eta horrela lekukotu zen sistema indiarra arabiarren kulturan. Honen ostean, Erdi Aroan Fibonacci izeneko matematikari italiar ospetsua izan zen zenbakiak adierazteko modu hau Europan sartu zuena, bere Liber Abaci liburuan zenbakiak nola izendatu eta nola idatzi azaltzen baitu. Hain erabilgarria suertatu zen metodo hau, gaur egun arte iraun duela eta ia mundu osoan erabiltzen dela.

Gai honi buruz gehiago sakondu nahi izanez gero, ikusi ondoko bideoa:

Eskerrik asko: Marcus du Satoy, Mickaël Launay.

Urrezko zenbaki bitxia

Ez dakit egongo den zenbaki miresgarriagorik matematikan... Toki guztietatik agertzen da, espero ez den adierazpen gisa gainera. Phi izenarekin ezagutzen da, ziurrenik bere obretan kontutan hartu zuen Phidias eskultore grekoaren omenez, eta 1'61803... hasten den zenbaki irrazional hau da:

Bere lehen agerpena K.a. 2600. urtearen inguruan izan zen Egipton, Keops-eko piramide nagusiaren neurrietan agertzen baita hiru neurri desberdinetan; horietako bat: piramidearen triangeluetako baten altuera eta ertzaren arteko zatiketa bi aldiz phi da. Grezia klasikoan dugu bere erabilera anitzaren abiapuntua Atenasko Partenoiaren proportzioetan, geroago zenbait artistek erabilera hori zabaldu zutelarik (adibidez, Leonardo da Vinciren Gioconda pintura ospetsuan).

Hala ere, bere azterketa sakonagoa Euklides eta Platonen eskuetatik datorkigu hori dena baino lehen: "zuzenki bat urrezko proportzioan egongo da zatiturik, zuzenki eta zati handienaren artean, zati handien eta txikienaren arteko proportzioaren berdina denean". Erlazio hori ebaztean agertzen zaigu, hain zuzen, zenbaki irrazional hau, x^2-2x-1 = 0 ekuazioaren soluzio gisa (egiaztatu dezakezu, jadanik ezaguna duzun bigarren mailako ekuazioen formula erabiliz...).

Aritmetikako zenbait eragiketetan ere agertzen da espero ez den modu batean, alboko bi eragiketetan ikus dezakegun bezala.

Baina bere agerpenik interesgarrienetako bat geometrian aurkitzen da, oso modu desberdinetan agertzen baita: urrezko laukizuzenean, pentagraman edota espiral logaritmikoan. Eta ez hori bakarrik: hain egokia eta polita iruditzen zaigu proportzio hau, gaur egungo gauzarik arruntenetan ere badagoela, kreditu txartelen neurrian, besteak beste (alde luzea alde motzarekin zatituz lortuko duzu).

Fibonacci italiarrak XIII. mendearen hasieran bere segida ospetsuaren gaiak aurrekoekin zatituz lortzen zela ere ohartu zen, eta horrek urrezko zenbakiaren agerpena dakarkigu, esaterako, naturaren alor askotan. Beheko lehendabiziko irudian "Nautilus" moluskua ikus dezakegu. Espiral logaritmiko baten arabera dago egina, eta espiral hau urrezko laukizuzenen arabera definitua dagoela egiazta dezakegu irudian.

Bigarren irudiari dagokionez, Leonardo da Vinci izan zen gorputzaren proportzio orekatuak marrazki honetan adierazi zituena. Ondoren, Luca Pacioli-k 1509. urtean argitaratutako liburuaren azalean agertzen da; liburu horretan, eraikinen eta giza gorputzaren proportziorik egokienak zeintzuk diren idazten du, eta dirudienez, gizakiaren altuera (karratuaren aldea) eta zilborretik eskuraino dagoen distantzia (zirkunferentziaren erradioa) zatituz, urrezko zenbakia lortzen da.

Azkenik, eta goiko hirugarren irudia arreta handiz begiratzen badugu, Fibonacci-ren segidaren zenbakietako batzuk aurkituko ditugu gure behatzen falangeen luzeran: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... Lehen esan den bezala, ondoko gaia aurrekoarekin zatituz berriz ere hurbiltzen gara urrezko zenbakiaren baliora: 1'618... Hau omnipresentea, baita gure gorputzean ere aurki behar ditxosozko zenbaki hau! Saia zaitez zure eskuan, agian urrezko zenbakia aurkituko duzu eta.

Dena den, hau laburpen txiki bat besterik ez da izan, zenbaki bitxi eta misteriotsu honi buruzko informazio izugarri baitago; zuen irudimen eta jakinduriari opari bat egiteko, hemen dauzkazue interesgarriak suerta daitezkeen zenbait esteka:

Eskerrik asko Cristobal Vila, TVE2, Ignacio Langarita, Lolita Brain, Junta de Andalucía.