Zero gabe ez gara ezer

Nolakoa litzateke mundua zero zenbakia gabe? Imajina dezakezu?

 

 Zenbakiak ez dira betidanik adierazi gaur egun ezagutzen ditugun bezala, ezta zenbatzeko modua ere. Antzinako Egipton zenbakiak idazkera jeroglifikoan idazten zituzten, zifren posizioa kontutan hartu gabe; horren ondorioz, batzuetan sinbolo asko erabili behar zituzten. Adibidez, 999 zenbakia idazteko (gure kasuan hiru sinbolo), haiek 3·9 = 27 ikur behar zituzten. Gainera, ez zeukaten zeroa adierazteko modurik.

 

Mesopotamia

 

K.a. bigarren milurtekoaren inguruan, hau da, duela 4000 urte inguru, Mesopotamian idazkera kuneiformea erabiltzen zen. Garai hartatik iritsi zaizkigun buztinezko tauletan, zenbakiak makiltxo baten markak ziren (1 marka = 1 zenbakia, 2 marka = 2 zenbakia...). Zifra bakoitzak balio ezberdina zeukan, okupatutako posizioaren arabera, gaur egun bezala (ez da gauza bera 9a unitateen posizioan, hamarrekoetan edo ehunekoetan egotea). Adibidez, 23 zenbakia horrela adierazten zen:

 

 

Hasieran, antzinako babiloniarren garaian (K.a. 1800 urte inguruan), ez zeukaten sinbolorik zeroarentzat. 23, 203 edo 2003 idazteko, marka horien artean hutsuneak uzten zituzten, beraz zenbakiak oso modu berdintsuan idazten ziren, eta batzuetan okertzeko aukera handia zegoen. Bakarrik posible zuten imajinatzea zein zenbaki izango zen testuinguruaren arabera. 

 

Aurrerago, K.a. 300. urtearen inguruan, zenbakien artean bi marka diagonal idazten hasi ziren posizioan zeroa adierazteko, baina bakarrik zifren artean zegoenean. Inoiz ez zuten erabili zenbakiaren bukaeran, beraz, egoeraren arabera errazago edo zailago izango zen zenbakia asmatzea. Adibidez, "7 seme-alaba dauzkat" esaldiak nekez esan nahiko du "70 seme-alaba dauzkat", baina Alejandro Magnoren konkisten garaian, ez da gauza bera esatea "30eko tropa hurbiltzen ari da", "300eko tropa hurbiltzen ari da" edo "30 000ko tropa hurbiltzen ari da". Kasu horretan arriskutsua zen zenbakien artean ez bereiztea!

Antzinako Maiak

Ameriketan, Maien zibilizazioak ere zenbaki sistema propioa erabiltzen zuen, egutegiko denbora tarteak idazteko. Posizioan zero adierazteko sinbolo berezi bat erabiltzen zuten, begi erdi-ireki baten antzekoa. Hauxe da, beraz, zeroaren lehenengo aztarna:

India (Erdi Aroa)

 

Indian eman zen alderdi honetan aurrerapausorik handiena. Haiek hasi ziren erabiltzen gaur egungo posizioaren araberako sistema hamartarra. Zifra bakoitzak balio desberdina zeukan posizioaren arabera, babiloniarrak bezala, baina hemen 10naka zenbatzen zen (babiloniarrak 60naka). Orduan, nola adierazi posizio hutsa, zenbakirik gabeko posizioa? Indian hutsunea adierazteko zenbaki berri bat azaldu zen.

Zero zenbakiaren agerpena oso garrantzitsua izan zen, goitik behera aldatu zuelako matematika egiteko modua. Zeroari esker, ondorengo matematikaren aurrerapen moderno guztiak egin ahal izan ziren; bakarrik hamar zifra erabiliz (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9), nahi adina zenbaki handiak sor ditzakegu. Gwalior gotorlekuaren tenplu txiki batean agertzen da lehen aldiz, IX. mendean.

 

www.nuevoperiodico.com

K.o. 628. urtean, Brahmagupta izeneko matematikari eta astronomoa, lehenengoa izan zen zenbaki negatiboen eta zeroaren eragiketak azaldu eta normalizatu zituena: 

 

a + 0 = a

a - 0 = a

a · 0 = 0

a / 0 (zatiketa honi buruz ez zuen ezer esan)

0 / 0 = 0 (kontuz, zatiketa hau gaizki kalkulatu zuen!)

 

Brahmaguptak ezin izan zuen zatiketa azaldu, eta gainera 0 / 0 = 0 zela esan zuenean guztiz okertu zen. Itxoin behar izan ziren 500 urte inguru, Bhaskara matematikariak eragiketa hau hobe azaltzeko. Zatitzen dugun zenbakia zero ez bada, zenbat eta handiagoa izan zatitzailea, orduan eta txikiagoa izango da emaitza:

Segida hau jarraituz, Bhaskarak ondorio hau lortu zuen: zatitzailea zerora hurbiltzerakoan, zatidura infinitora doa. Hortaz, a/0 infinito zela esan zuen. Dena den, zeroa zatiketan sartzen denean, beti ematen dizkigu arazoak, eta Bhaskara ere okertu zen 0/0 egiterakoan. Beraz, hemendik aurrera, kontuz eragiketa madarikatu honekin!

Europa (Erdi Aroa)

Fibonacci matematikari italiarra izan zen 1202-ko Liber Abaci obraren bitartez, 0tik 9rako zifra hindu-arabiarrak Europan sartu zituena, eta orduz geroztik iritsi zaizkigu gurera. Fibonacci-k egindako zenbaki hauen agerpena funtsezkoa izan zen, nahiz eta bere momentuan ez lortu espero zen ospea, aurrerago hamar zifra horiek definitiboak izango ziren.

Gaur egun

Nolanahi ere, zeroa matematiken ekarpen nagusienetako bat da, zalantzarik gabe. Zenbaki errealen zuzenean, zeroak zenbaki positiboak eta negatiboak banatzen ditu; sistema hamartarrean, zenbakiak nahi adina handiak izateko aukera ematen digu... Matematikek ezingo zuten funtzionatu zeroa gabe, zenbaki sistema, aljebra edota geometriaren muinean dagoenez, bera gabe ezingo ziren ongi ulertu. 

 

Zero zenbaki boteretsuaren inguruan gehiago jakin nahi baduzu, Eduardo Saenz de Cabezón matematikariaren bideoa hasieratik bukaerara ikustera gonbidatzen zaitut:

Eskerrik asko: Anne Rooney, Carl B. Boyer,  Marcus du Satoy.

Nola zenbatuko zenuke zenbakiak erabili gabe?

Duela 5000 urte inguru, Antzinako Mesopotamian, abereen kontrola eramateko, lurraldeen mugak neurtzeko eta merkataritzan aritzeko, zenbakien beharra sortu zen. Baina gaur egungo zenbakiak existitzen ez baziren, nola zenbatuko zuten K.a. III. milurtekoko gizakiek? Uda garaia iristen zenean artaldeak iparraldeko lurraldeetara mugitzen zituzten. Jabeek ardiak artzainen esku uzten zituzten, hilabete batzuetan zehar zaindu eta berriz bueltatzeko. Dena den, nola jakin zenbat ardi itzuli behar zituzten?

Horretarako, buztinezko fitxak erabiltzen zituzten: zenbat fitxa, hainbat ardi. Fitxa horiek buztinezko ontzietan gordetzen zituzten, baina bitartean nor arduratuko zen ontzia gordetzeaz? Nortaz fidatu? Orduan, aurrerago ontziak itxita uzten ziren, baina horrek jabeei ere arazoak ematen zizkien, negozioak egiteko uneoro jakin behar zutelako zenbat ardi zeuzkaten, eta gogoratu, oraindik zenbakiak ez ziren existitzen! Eta ez hori bakarrik, artaldeetan milaka ardi ziren. Beraz, ontzien kanpoan ere markak eginez jakingo zuten zenbat ardi ziren.

Hori dela eta, duela 4000 urte inguru babiloniarrek ideia bikaina izan zuten: zertarako prestatu milaka fitxa eta ontzitxo, kanpoko markak nahikoak badira jakiteko artaldearen tamaina? Horrekin sistema hobeago bat garatu zuten: buztinezko taulatxoak. Buztinezko pieza txikietan puntzoi batez markak egin eta ondoren buztina egosiz, zenbaki handiak idazteko aukera izan zuten: idazkera kuneiformea deitzen da. Metodo honi esker iritsi zaizkigu aztarna hauek milaka urte igaro ondoren.

Babiloniarren zenbatzeko sisteman bi ikur erabiltzen ziren: iltzea 1 zenbakiarentzako eta galburua 10 adierazteko. Sistemak 60 oinarria zuen (gaur egun denbora eta angeluak neurtzeko erabiltzen duguna bezala), eta horrek zer esan nahi du? Ba 1etik 59ra doazen zenbakiak idazteko ikurrak pilatu egiten zirela:

 

Zenbakiak idazkera kuneiformean

 

Aldiz, 60tik aurrerako zenbakietarako multzoak egiten ziren; multzo horiek okupatutako posizioaren arabera, balio desberdina hartzen zuten. Adibidez,  1859 zenbakia hala adierazten zen:

Sistema horrek posizioari esker idazkera errazten zuen, baina oraindik ere gabezia handi bat zeukaten: ez zegoen zeroa edo posizio hutsa adierazteko modurik. Hasiera batean, 22 edo 202 zenbakiak adierazteko bi markako bi multzo adierazten zituzten, azkenaren kasuan hutsune txiki bat utziz, baina horrek zalantza asko sortzen zituen.

 

 

Antzinako Egipton, Mesopotamiako lurraldeetatik hurbil, K.a. III. milurtekoaren hasieran ere idazkera garatu zuten, baina beste sinbolo batzuekin:

Beraien zenbatzeko sistemak oinarria 10 zuen, gurearen antzera. Irudikatzeko sistema oso polita izan zitekeen, baina ez zen oso erosoa. Zenbakiak ikur horiek errepikatuz lortzen ziren, baina posizioa kontutan hartu gabe. Hala, bederatzi zenbakia adierazteko, 1 zenbakiaren irudia bederatzi aldiz idatzi behar zen.

Adibidez 4622 zenbakia idazteko, milakoen ikurra 4 aldiz, ehunekoen ikurra 6 aldiz, hamarrekoen ikurra 2 aldiz eta unitateen ikurra 2 aldiz irudikatu behar ziren. Baina, zer gertatzen da 999 999 bezalako zenbakiekin? Zenbat ikur idatzi beharko genituzke? Ba al da praktikoa idazteko modu batukor hori?

Egiptoarrek ez zuten hau dena buztinean idazten, horren ordez haien materiala papiroa zen.

Rhind papiroaren zati bat

XIX. mendean Rhind izeneko aditu batek papiro ospetsu bat erosi zuen, eta hortik dakigu zer nolako matematika egiten zen Antzinako Egipton: zatikien buruketak, piramideen azalera eta bolumenen kalkuluak, proportzionaltasun problemak... buruketak beteriko dokumentua da. Ordutik, Rhind papiroa (aurkitutako pertsonaren omenean) edo Ahmes-en papiroa (idazlearen omenean) deitzen da.

Hala eta guztiz ere, inperio hauek guztiek behera egin zutenean, ezagutza hauek guztiak bertan behera geratu ziren, eta milaka urte igaro behar izan ziren berriz ere aurkikuntza hauek ezagutzeko.

Bitartean, Amerikako maien zibilizazioan oinarria 20koa aplikatu zuten.

Ondoren Erromatarrak iritsi ziren. Haien sistema nahiko kaxkarra zen, batez ere eragiketak egiteko. Denok ezagutzen ditugu zifra erromatarrak, baina seguruenik ez dugu ezagutuko batuketak eta kenketak egiteko zuten era korapilatsua:

Goiko taula horretatik ondoriozta dezakegu, beraz, erromatarren zenbaki-sistema ez zela batere erosoa eta etorkizunean ez zuela arrakasta handirik izango.

 

 

Baina... munduari zenbat buelta gehiago eman behar dizkiogu behingoz gure zenbakiak aurkitzeko? Hiru pauso besterik ez dira falta gure zenbakien jatorria ulertzeko: Indian sortu, arabiarrek erabili eta Europan zabaldu:

Zifra horiek posizioaren araberako sistema-hamartar batean erabiltzen ziren, hau da, zifra bakoitzak okupatutako posizioaren arabera, hamarren berretura zehatza adierazi nahi zuen. Soilik hamar ikur erabiliz, posible zen edozein zenbaki adieraztea. A ze diferentzia egiptoarren metodoarekin!

 

Laburbilduz, gaur egun zenbakiak adierazteko dugun era eta erabiltzen ditugun ikurrak, beraz, Indiatik datozela esan dezakegu. Baina nola iritsi ziren handik gure herrialdeetara? Ekialdeko jakintsuak Bagdad hirira erakarri ziren, eta horrela lekukotu zen sistema indiarra arabiarren kulturan. Honen ostean, Erdi Aroan Fibonacci izeneko matematikari italiar ospetsua izan zen zenbakiak adierazteko modu hau Europan sartu zuena, bere Liber Abaci liburuan zenbakiak nola izendatu eta nola idatzi azaltzen baitu. Hain erabilgarria suertatu zen metodo hau, gaur egun arte iraun duela eta ia mundu osoan erabiltzen dela.

Gai honi buruz gehiago sakondu nahi izanez gero, ikusi ondoko bideoa:

Eskerrik asko: Marcus du Satoy, Mickaël Launay.

Aljebraren hastapenak: nork ebazten zituen lehenengo ekuazioak?

Antzinako Egipton

Egipton, bizitza arrunteko problemekin lotuta, "kantitate ezezagunen" kontzeptua hasten da, gaurko x. Orduan lehen mailako ekuazioak ezagutzen zituzten, Ahmes papiroan demostratu ahal izan den bezala, baina ez ziren ebazten gaur egungo teknikekin: "regula falsi" metodoa erabiltzen zuten, hau da, ekuazioaren soluzio bat suposatu, ekuazioan aplikatu eta emaitzak konparatuz, proportzionaltasuna erabiliz lortzen zuten soluzio egokia. Batzuetan prozesu luze xamarra zen!

Mesopotamian

Babiloniarrek zenbakien erabilera uste baino hobeto menperatzen zuten, eta aljebraren lehenengo erabilera gorena handik datorkigu. Babiloniarren matematikako buruketa gehienak lurraren neurketarekin lotuta daude, eta hortik agertzen dira 2. nahiz 3. mailako lehendabiziko ekuazioak. Hala eta guztiz ere, arraroa badirudi ere, ekuazioak ez zituzten formulen bitartez ebazten, geometriarekin baizik! Lur zati laukizuzen batetik abiatuta, zati karratu bat sortu eta berretura perfektuetatik lortzen zuten soluzioa.

Grezia klasikoan

Diofanto Alexandriakoa

Diofanto matematikaria izan zen K.a. 250. urtearen inguruan bere Arithmetica liburuan ordura arte aljebra gehien landu zuena. Bertan, ax^2 + bx = 0 bezalako ekuazioak ebazteko interes handia adierazten du; babiloniarrek dagoeneko ezagutzen zituzten ekuazio lineal (1. mailakoak) eta koadratikoak (2. mailakoak) ebazteko zenbait metodo, baina Diofantoren meritua da idazkera aljebraiko sistematikoa eta koherentea erabiltzen lehena izan zela.

Arabiarrak

Al-Khwarizmi eta bere lana

Aurreko lanetatik abiatuta, al-Khwarizmi matematikari eta astronomo persiarrak (780-850) bere Aljebra liburuan ekuazio lineal eta koadratikoen ebazpen sistematikoa aurkeztu zuen. X. mendera arte, 2. mailako ekuazioak ebazteko metodo geometrikoak erabili ohi ziren, funtsean ekuazio hauek lurreko problema errealetarako erabiltzen zirelako, testuingururik gabeko buruketetarako erabili beharrean. Esan dezakegu, Al-Khwarizmi izan zela, Diofantorekin batera, "aljebraren aita", haien lanetatik abiatuta garatu zelako historian zehar gaur egungo aljebra osoa.

Bere obra 830. urtean Al-Khwarizmik Bagdadeko Jakinduriaren etxean (garaiko kulturgune garrantzitsuenean) aurkeztu zuen, eta harekin aljebrako problemak ebazteko modua betirako aldatu zuen. Bere lilburuaren izenburutik dator, hain zuzen ere, aljebra hitzaren jatorria:  Kitab al-jabr w'al muqabalah (euskaraz, Errestaurazioaren eta oposizioaren kalkuluaren liburu laburtua deituko genuke).

 

Kuriosoena honako hau da: bere lanetan ez zuen ikurrik erabiltzen. Horren ordez, ekuazioak hitzez adierazten zituen, diagramez lagunduta. Ikus ezazu ondoko adibidea: gaur egun horrela planteatuko genukeen ekuazioa:

 

Berak honela idatziko luke: "Kopuru bat: horren herena eta dirham bat biderkatu ditut haren laurdenarekin eta dirham batekin; hogei ematen du" (oharra: dirhama unitatea adierazteko erabiltzen duen moneta da) . Imajinatu nolakoak izango liratekeen gure aljebrako klaseak horrela azalduko bagenitu!

Eskerrik asko: Pickover, Tony Crilly, DK London.