Neurririk gabeko mundua

1999ko irailaren 23an, Martitz planetara abiatzen zen Mars Climate espazio-zunda apurtu egin zen. Proiektu hartan inbertitutako 125 milioi dolar bertan behera geratu ziren, baina hori ez zen okerrena. Badakizue zergatik egin zuen talka? Zunda diseinatu zutenean, neurtzeko unitateak kontutan hartu ez zituztelako: Lurretik aginduak metrotan bidaltzen ziren (sistema metriko hamartarra) baina espazio-ontziak miliatan jasotzen zituen (sistema anglosaxoia). 

Historian zehar, hauxe izan da neurketen helburu nagusiena: denok elkar ulertzeko, modu berean neurtzea. Goazen ikustera pausoz pauso nola iritsi garen gaur egungo egoerara.

Bidaia hasi baino lehen, kontzeptu batzuk ulertu behar ditugu: magnitudeak, objektuetan neurtu eta kuantifikatu ditzakegun ezaugarriak dira (luzera, masa, denbora...); unitateak, aldez aurretik adostutako erreferentziak dira, magnitudeak neurtzeko balio digutenak (metroa, kilogramoa, segundoa...);

Antzinako zibilizazioetan, gizakiek neurketak egiteko euren gorputza erabiltzen zuten. Hala, Egiptoko piramideak zehaztasun osoz eraiki ahal izateko kubitua erabiltzen zuten, hau da, erdiko behatzetik ukondoraino doan distantzia. Noski, faraoiaren besoa eredu bezala hartuz.

Egiptoko piramideak, neurketa zehatzekin eraikiak

Piramideez gain, lursailak neurtzeko beharra ere bazeukaten. Nilo ibaiak urtero inguruko lurraldeak urpean uzten zituen, eta ondoren berriz mugak ezartzeko, neurketak egin behar zituzten.

Mendeetan zehar aurrerago, babiloniarrek, antzinako greziarrek eta erromatarrek ere, neurketak egiteko patroi ezagun bat erabiltzen zuten: haien gorputza. Hazbetea neurri txikietarako, esku-zabala neurketa ertainetarako, oinak leku handiak neurtzeko... Baina noren gorputzarenak? Hartutako pertsonaren arabera, oinaren luzera desberdina izango baitzen, Europan Erdi Aroan eskualdeko erregearen oina hartzen zen eredu gisa.

Gorputzean oinarritutako neurketa batzuk

Honek arazo handiak ematen zituen, merkataritzan toki ezberdinetako neurriak hartzen baldin baziren, kantitateak bat ez zetozelako. Ez hori bakarrik, erregea hiltzen zenean, erresumako neurri guztiak aldatu behar ziren. Zelako lana!

1791. urtean aldaketa garrantzitsu bat gertatu zuen: sistema metriko hamartarra jaio zen, eta honek mundua neurtzeko modua goitik behera aldatuko zuen. Guztiontzako neurri berdinak hartuko ziren, haien artean Frantziako Zientzien Akademiak luzera unitate gisa metroa ezarri zuen (Parisetik igarotzen den meridiano laurdenaren hamarmiloirena), eta garai hartan ere Lavoisier kimikariak kilogramoa definitu zuen (dezimetro kubiko bat uren masa, presio eta tenperatura baldintza zehatzetan).

Metroaren definizioa, Pariseko meridianoaren arabera

Ondoren, 1875. urtea funtsezkoa izan zen: hainbat herrialdek Metroaren Tratatua sinatu zuten, sistema metrikoa zabaldu eta hobetzeko. Herrialdeen ordezkariak lau urtetan behin elkartzen ziren. Hala eta guztiz ere, beste herrialde batzuek ez zuten sistema hori erabili nahi izan. Adibidez, Brasilen merkatariek pentsatzen zuten kilogramoa erabiliz haiek dirua galtzen aterako zirela, eta ontza edo kintala bezalako unitateak erabiltzen jarraitzea nahiago zuten. 

 

Urteak aurrera igaro ahala, metroaren eta gainontzeko unitateen definizioak aldatuz eta hobetuz joan ziren. Metroak definizio desberdinak hartu zituen: hasiera batean Lurraren meridianoaren zatitxo bat zen, ondoren metalezko makil baten luzera izango zen eta azkenik, argiaren abiaduraren arabera zehaztu zen. Hainbeste aldaketa zertarako? Sistema egonkor eta unibertsala lortzeko asmoz.

 

1960. urtean, beste aurrerapausu nabarmena eman zen: Unitateen Sistema Internazionala sortu zen, herrialde askoren artean adosteko zeintzuk izango ziren mundu osoan erabilitako unitateak eta patroiak.

 

Unitateen Sistema Internazionala. 7 oinarrizko magnitudeak

 

 

Hala eta guztiz ere, zenbait herrialdetan oraindik ere ez dute sistema hori erabili nahi, eta aspaldiko sistema ingelesa erabiltzen jarraitzen dute. Esaterako, luzera neurtzeko hazbetea edo pulgada (1 in = 2'54 cm), oina (1 ft = 30'48 cm), yarda (1 yd = 91'44 cm) eta milia (1 mi = 1'609 km) erabiltzen dituzte, besteak beste. Masaren kasuan ontza (1 oz = 28'3 g) eta libra (453'6 g). Edukierarako, aldiz, ontza likidoa (1 fl oz = 29'5 mL), pinta (1 pt = 473 mL) eta galoia (3'78 L). Unitate hauetako batzuk seguraski aski ezagunak izango dituzu: zertan neurtzen da mugikorren edo telebisten pantailaren tamaina?

Pixkanaka magnitude gehiago aztertuko ziren, eta neurketa tresnak ere gero eta sofistikatuagoak izango ziren. Gaur egun, unitateak ezartzeko eta konparaketak egiteko objektuak erabili ordez (makilak, pisuak, erregelak...), horren ordez konstante fisikoak erabiltzen dira (esaterako, argiaren abiadura), denboran zehar askoz iraunkorragoak direlako.

Nola zenbatuko zenuke zenbakiak erabili gabe?

Duela 5000 urte inguru, Antzinako Mesopotamian, abereen kontrola eramateko, lurraldeen mugak neurtzeko eta merkataritzan aritzeko, zenbakien beharra sortu zen. Baina gaur egungo zenbakiak existitzen ez baziren, nola zenbatuko zuten K.a. III. milurtekoko gizakiek? Uda garaia iristen zenean artaldeak iparraldeko lurraldeetara mugitzen zituzten. Jabeek ardiak artzainen esku uzten zituzten, hilabete batzuetan zehar zaindu eta berriz bueltatzeko. Dena den, nola jakin zenbat ardi itzuli behar zituzten?

Horretarako, buztinezko fitxak erabiltzen zituzten: zenbat fitxa, hainbat ardi. Fitxa horiek buztinezko ontzietan gordetzen zituzten, baina bitartean nor arduratuko zen ontzia gordetzeaz? Nortaz fidatu? Orduan, aurrerago ontziak itxita uzten ziren, baina horrek jabeei ere arazoak ematen zizkien, negozioak egiteko uneoro jakin behar zutelako zenbat ardi zeuzkaten, eta gogoratu, oraindik zenbakiak ez ziren existitzen! Eta ez hori bakarrik, artaldeetan milaka ardi ziren. Beraz, ontzien kanpoan ere markak eginez jakingo zuten zenbat ardi ziren.

Hori dela eta, duela 4000 urte inguru babiloniarrek ideia bikaina izan zuten: zertarako prestatu milaka fitxa eta ontzitxo, kanpoko markak nahikoak badira jakiteko artaldearen tamaina? Horrekin sistema hobeago bat garatu zuten: buztinezko taulatxoak. Buztinezko pieza txikietan puntzoi batez markak egin eta ondoren buztina egosiz, zenbaki handiak idazteko aukera izan zuten: idazkera kuneiformea deitzen da. Metodo honi esker iritsi zaizkigu aztarna hauek milaka urte igaro ondoren.

Babiloniarren zenbatzeko sisteman bi ikur erabiltzen ziren: iltzea 1 zenbakiarentzako eta galburua 10 adierazteko. Sistemak 60 oinarria zuen (gaur egun denbora eta angeluak neurtzeko erabiltzen duguna bezala), eta horrek zer esan nahi du? Ba 1etik 59ra doazen zenbakiak idazteko ikurrak pilatu egiten zirela:

 

Zenbakiak idazkera kuneiformean

 

Aldiz, 60tik aurrerako zenbakietarako multzoak egiten ziren; multzo horiek okupatutako posizioaren arabera, balio desberdina hartzen zuten. Adibidez,  1859 zenbakia hala adierazten zen:

Sistema horrek posizioari esker idazkera errazten zuen, baina oraindik ere gabezia handi bat zeukaten: ez zegoen zeroa edo posizio hutsa adierazteko modurik. Hasiera batean, 22 edo 202 zenbakiak adierazteko bi markako bi multzo adierazten zituzten, azkenaren kasuan hutsune txiki bat utziz, baina horrek zalantza asko sortzen zituen.

 

 

Antzinako Egipton, Mesopotamiako lurraldeetatik hurbil, K.a. III. milurtekoaren hasieran ere idazkera garatu zuten, baina beste sinbolo batzuekin:

Beraien zenbatzeko sistemak oinarria 10 zuen, gurearen antzera. Irudikatzeko sistema oso polita izan zitekeen, baina ez zen oso erosoa. Zenbakiak ikur horiek errepikatuz lortzen ziren, baina posizioa kontutan hartu gabe. Hala, bederatzi zenbakia adierazteko, 1 zenbakiaren irudia bederatzi aldiz idatzi behar zen.

Adibidez 4622 zenbakia idazteko, milakoen ikurra 4 aldiz, ehunekoen ikurra 6 aldiz, hamarrekoen ikurra 2 aldiz eta unitateen ikurra 2 aldiz irudikatu behar ziren. Baina, zer gertatzen da 999 999 bezalako zenbakiekin? Zenbat ikur idatzi beharko genituzke? Ba al da praktikoa idazteko modu batukor hori?

Egiptoarrek ez zuten hau dena buztinean idazten, horren ordez haien materiala papiroa zen.

Rhind papiroaren zati bat

XIX. mendean Rhind izeneko aditu batek papiro ospetsu bat erosi zuen, eta hortik dakigu zer nolako matematika egiten zen Antzinako Egipton: zatikien buruketak, piramideen azalera eta bolumenen kalkuluak, proportzionaltasun problemak... buruketak beteriko dokumentua da. Ordutik, Rhind papiroa (aurkitutako pertsonaren omenean) edo Ahmes-en papiroa (idazlearen omenean) deitzen da.

Hala eta guztiz ere, inperio hauek guztiek behera egin zutenean, ezagutza hauek guztiak bertan behera geratu ziren, eta milaka urte igaro behar izan ziren berriz ere aurkikuntza hauek ezagutzeko.

Bitartean, Amerikako maien zibilizazioan oinarria 20koa aplikatu zuten.

Ondoren Erromatarrak iritsi ziren. Haien sistema nahiko kaxkarra zen, batez ere eragiketak egiteko. Denok ezagutzen ditugu zifra erromatarrak, baina seguruenik ez dugu ezagutuko batuketak eta kenketak egiteko zuten era korapilatsua:

Goiko taula horretatik ondoriozta dezakegu, beraz, erromatarren zenbaki-sistema ez zela batere erosoa eta etorkizunean ez zuela arrakasta handirik izango.

 

 

Baina... munduari zenbat buelta gehiago eman behar dizkiogu behingoz gure zenbakiak aurkitzeko? Hiru pauso besterik ez dira falta gure zenbakien jatorria ulertzeko: Indian sortu, arabiarrek erabili eta Europan zabaldu:

Zifra horiek posizioaren araberako sistema-hamartar batean erabiltzen ziren, hau da, zifra bakoitzak okupatutako posizioaren arabera, hamarren berretura zehatza adierazi nahi zuen. Soilik hamar ikur erabiliz, posible zen edozein zenbaki adieraztea. A ze diferentzia egiptoarren metodoarekin!

 

Laburbilduz, gaur egun zenbakiak adierazteko dugun era eta erabiltzen ditugun ikurrak, beraz, Indiatik datozela esan dezakegu. Baina nola iritsi ziren handik gure herrialdeetara? Ekialdeko jakintsuak Bagdad hirira erakarri ziren, eta horrela lekukotu zen sistema indiarra arabiarren kulturan. Honen ostean, Erdi Aroan Fibonacci izeneko matematikari italiar ospetsua izan zen zenbakiak adierazteko modu hau Europan sartu zuena, bere Liber Abaci liburuan zenbakiak nola izendatu eta nola idatzi azaltzen baitu. Hain erabilgarria suertatu zen metodo hau, gaur egun arte iraun duela eta ia mundu osoan erabiltzen dela.

Gai honi buruz gehiago sakondu nahi izanez gero, ikusi ondoko bideoa:

Eskerrik asko: Marcus du Satoy, Mickaël Launay.

Zer nolako matematika egiten zen duela 4000 urte?

Galdera honi erantzuteko, ekialderuntz 5000 km-ko bidaia egin behar dugu.

Mesopotamiako mapa, garaiz garai

Bertan, topatuko dugun lehendabiziko informazio iturria buztinezko taulak dira. K.a. IV milurtekoaren inguruan zibilizazio emankor bat egon zen, Tigris eta Eufrates ibaien inguruan, gaurko Irak eta Iran arteko zonaldean: Mesopotamia. Haien idazketa metodoa oso bitxia eta aldi berean iraunkorra izan zen: buztinean puntzoi batzuekin markak egin ondoren (idazkera kuneiforme izenekoa), buztina egosi edo eguzkitan lehortzen uzten zuten gogortu arte, eta honi esker iritsi zaizkigu dokumentu esanguratsu hauek gure eskuetara milaka urte igaro arren.

Berreskuratu diren taula babiloniko gehienak K.a. 1800-1600 urteen artekoak dira, eta aztarnategi guztiak kontuan hartuta, milaka taula bildu ahal izan dira. Altxor preziatua!

Buztinezko taula horien artean aipagarrienetakoa bat Plimpton 322 izenekoa da. K.a. 1800. urte ingurukoa omen da. 13 cm inguru neurtzen du eta bertan zenbaki multzo bat agertzen da (ikusi beheko irudia), lau zutabe eta 15 errenkadatan banatuta. Ondoren interpretatu denez, Pitagorasen teorema betetzen duten zenbaki-hirukoteak dira, babiloniarren zenbaki sistema hirurogeitarrean idatzita eta lehen aipatutako idazkera kuneiformean.

Plimpton 322 izeneko buztinezko taulatxoa eta bere interpretazioa

Egiptoko piramideak

Urteetan zehar aurrerago egiten badugu, eta mapan pixka bat mendebalderago, Antzinako Egiptoko zibilizazioa aurkituko dugu. Haiek buztina erabili ordez papiroa erabiltzen zuten, beraz, dokumentuak ezin izan dira hain ongi mantendu.



K.a. 1650. urte ingurukoa da papiroen artean famatuena: Ahmes-en papiroa (dokumentua idatzi zuen izkribuaren omenean) edo Rhind papiroa (dokumentua Egiptoko merkatu batean erostea lortu zuen pertsonaren omenean). 6 metroko luzera duen papiroa da eta hieratikoan idatzita dago (idazkera jeroglifikoa baino pixka bat sinpleago, eta zenbaki sistema hamartarra erabiliz). Bertan 84 buruketako sorta aurki dezakegu; pentsa, gaur egungo matematikako testu-liburu bat balitz bezala, problemaz jositako dokumentu bat.

Ahmes-en papiroa

Nola edo hala, papiro honi esker badakigu Antzinako egipziarrek zer nolako matematika ezagutzen zuten. Errealitateko egoeren buruketa horietan, batuketak, zatikien arteko eragiketak, lehen mailako ekuazioak, triangelu edota trapezioen azalerak, zirkuluen azalerak edota piramideen bolumenak kalkulatzen dira, besteak beste. Anima zaitez, eta ordezkatu zure ohiko testu liburua une batez Ahmes-en papiroarengatik: oso buruketa kuriosoak topatuko dituzu hemen. Arreta jartzen badiozu buruketa horietako baten ebazpen korapilatsuari, ikusiko duzu zer lana zeukaten garaiko ikasle gizajoek!

Eskerrik asko: Clifford A. Pickover, Carl B. Boyer

Pitagorasen teorema, ez zuen Pitagorasek aurkitu!

Pitagoras Samoskoa

Maiz entzungo zenuen Pitagorasen teorema, baina zer da teorema bat? Baieztapen edo esaldi bat besterik ez da, beti egia izango dena, froga matematikoak erabiliz hala demostratu delako. Beste modu batera esanda, matematikariei buruhausteak ekarri dizkieten ideia horietakoak, behin kalkuluak eta frogak eginda, betirako lasai uzten dituena.



Eta nor ote zen Pitagoras famatu hori? Greziako Samos irlako gizon bat omen zen (K.a. VI. mendean jaiotakoa), nahiko bitxia dirudienez. Bere bizitzak liburu bat beteko luke, baina orain ez da horretarako momentua.


Hortaz, bi kontzeptu horiek argi utzita, hortxe doa teorema ospetsua: "triangelu zuzen guztietan, hipotenusaren karratua katetoen karratuen baturaren berdina da". Horixe da dena. Gustura geratuko zen gure Pitagoras jauna, ezta? Hipotenusa angelu zuzenaren aurrean dagoen aldea da (luzeena), eta katetoak gainontzeko bi aldeak (motzenak). Karratuak esaten direnean, berbiduraz ari gara.

Esan beharra dago esaldiaren bi norantzak kontutan hartu behar ditugula: alde batetik, triangelu zuzen guztien aldeek beteko dutela formula hori; bestetik, formula hori betetzen duten alde-hirukote guztiek, triangelu zuzen bat osatuko dutela.

Hala eta guztiz ere, oraindik gakoa argitu gabe dugu: izan al zen gizon bitxi hori teorema aurkitu zuena? Merezi al du bere izenak eskola liburu guztietan agertzea? Bera izan zen Antzinako Grezia garaian teoremaren lehenengo demostrazio formala eman zuena (momentu hartako matematikarien helburua dena frogatzea zen), baina teorema milaka urte lehenago ezagutzen zen.

Antzinako Egipton (K.a. 3100. urtearen inguruan), Nilo ibaiaren uholdeen erruz inguruko lursailak urtez urte berriro neurtu behar zituzten. Neurketa horiek egiteko 13 korapiloko soka erabiltzen zen, 3-4-5 aldeak dituen triangelu horrek angelu zuzena ziurtatzen zuelako. Zuk zeuk froga dezakegu ea zenbaki-hirukote horrek Pitagorasen teorema betetzen duen ala ez: 5en karratua, ba al da 3 eta 4ren karratuen baturaren berdina? Egin kalkuluak.

Babiloniako zibiliazioan ere (K.a. 1800. urtearen inguruan), buztinezko tauletan Pitagorasen teorema betetzen zuten zenbaki-hirukote horien adibideak agertzen zaizkigu, ziurrenik irakasleek ikasleei proposaturiko ariketa gisa eta teoremaren kontzientziarik gabe. Hirukote pitagorikoen multiploak ere kontutan har ditzakegu: adibidez, (3,4,5) aldeen triangelua zuzena da, beraz (6,8,10) edo (9, 12, 15) ere izango dira. Aukerak mugagabeak dira.

Hirukote pitagoriko batzuk

  
Txinan K.a. 1000. urtearen inguruan teoremaren ezagupena eta lehen demostrazioa ere aurki ditzakegu, Matematikako artearen lehen bederatzi kapituluak izeneko obran.

Laburbilduz, teorema aldez aurretik ezagutzen bazen ere, Pitagorasi demostrazioaren meritua zor diogu. Ez hori bakarrik! Orduz geroztik, historian zehar demostrazio gehien izan dituen teorema izan da. Adibide gisa,  1940. urtean Loomis-ek teoremaren 367 froga bildu zituen liburu batean. Nork pentsa lezake erlazio berera iristeko hainbeste bide desberdin dauzkagula? Beheko irudian klik eginez, GeoGebra tresnaren bidez demostrazio horietako batzuk aurkituko dituzu, eta horiek eredutzat hartuta, kartulina eta guraizeekin zuk zeuk eraiki dezakezu zeure demostrazioaren puzle propioa. Anima zaitez!

Pitagorasen teoremaren demostrazioetako baten irudia

Eta haratago joan nahi baduzu, zeure tramankulu propioa eraiki dezakezu. Hona hemen beste adibide bat:

Eskerrik asko: Marcus du Satoy, Manuel Sada, Clifford A. Pickover, Anne Rooney.

Zenbaki lehenen misterio askaezina

Zenbaki lehenak eskolan aipatzen dizkiguten zenbaki berezi batzuk dira, baina, zein da haien garrantzia? Zergatik ikasi behar? Zein da haien historia eta misterioa? Hurrengo lerroetan aurkituko dituzu galdera hauen erantzunak.

Zer dira zenbaki lehenak?

Zenbaki lehenak soilik bi zatitzaile dituzten zenbakiak dira: 1 eta bere burua. Hortaz, hauexek ditugu lehendabiziko zenbaki lehenak: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23... Kimikan atomoak diren bezalaxe, matematikan zenbaki lehenak dauzkagu, gainontzeko zenbaki guztiak lortzeko balio diguten partikula deskonposaezinak direlako. Hortaz, gainontzeak zenbaki lehenen biderkaduratik abiatuz lortzen dira, hau da, zenbaki konposatuak: 3·5=15; 2·3·7= 42.

Eta ez hori bakarrik!!! 1 baino handiagoa den edozein zenbaki arrunt lortzeko, zenbaki lehenak modu bakarrean biderkatuz egiten da. Hau da Alexandriako Euklides-ek K.a. 300. urtearen inguruan bere Elementuak liburuan idatzi zuen esaldietako bat, eta gaur egun "Aritmetikaren oinarrizko teorema" izen potoloarekin ezagutzen dena. Horretaz gain, Euklidesek ere demostratu zuen infinitu zenbaki lehen daudela.

Nola lortzen dira?

Zoritxarrez, zenbaki lehenek ez dute inongo irizpiderik jarraitzen eta haiek aurkitzea ez da lan erraza. Hauxe izan da historian zehar matematikarien buruhauste handienetako bat: zenbaki lehenak lortzeko formula edo jarraibide bat aurkitzea.

Euklidesen garai berean, lehendabizikoa K.a. 230.ean Eratostenes Cirene-koa izan zen: zenbaki lehenen bahea izeneko tresna sortu zuen; zuk ere eraiki dezakezu ondoko argibideei jarraituz! Batetik ehunerako taula bat hartzen badugu, hasteko, 2-ren multiplo guztiak ezabatu behar dira (hauek ez baitziren izango lehenak), ondoren 3-ren multiploak, gero 5-en multiploak...eta ezabatu gabe gelditutakoak izango ziren lehenak. 

 

Zenbaki lehenak (Matematika gertutik kanala)

 

Ohartzen bazara, bahea lortzeko lehenengo 10 zenbakietara iristearekin nahikoa da, 100en erro karratua. Orokorrean, edozein N zenbaki baino txikiagoak diren lehenak lortzeko, N-ren erro karratura iristearekin nahikoa litzateke. Metodo hau sortu zenetik 2000 urte beranduago oraindik ere erabiltzen jarraitzen da, zenbaki lehen txikiak lortzeko (kontuz, ez gaizki ulertu, hamar mila milioi zenbakia baino txikiagoak!).

XVII. mendera jauzi egiten badugu, Mersenne filosofo frantsesa aurkitzen dugu. 1641. urteko obran zenbaki lehen batzuk aurkitzeko formula bat ezarri eta lehenen propietate batzuk ere azaldu zituen. Garai eta toki berean Pierre de Fermat matematikari ospetsua; XVIII-XIX. mendean Sophie Germain matematikaria...

Zenbat zenbaki lehen daude?

1 eta 100-en artean zenbaki lehen gehiago daude 101 eta 200 artean baino. Beraz, zenbakiak handitzerakoan gero eta zenbaki lehen gutxiago baldin badaude, orduan... noizbait bukatuko dira? Erantzuna emateko berriz ere Euklides. Berak jarraibide matematiko bat erabiliz infinitu daudela demostratu zuen.

Zertan erabiltzen dira?

Gaur egun zenbaki lehenen erabilera ezagunenetako bat kriptografia da, hau da, mezu sekretuak kodetzeko tresna, adibidez web orrialde baten bitartez diru transferentziak egin nahi ditugunean (kode hauei buruzko informazio gehiagorako, egin klik hemen).

Hala eta guztiz ere, gehien harritzen nauen erabilera naturan dago eta K.a. milioi bat urte ingurutik datorkigu: txitxarrak. Garai hartatik datorkigun txitxar mota batek lurpean igarotzen du ia bere bizitza osoa, eta soilik 13 edo 17 urtetik behin ateratzen da ugaldu eta hil arte. Zergatik ez du egiten, adibidez, 12 urtetik behin? Erantzuna benetan zentzuduna da: bere zikloa 12 urtekoa balitz, haren harrapariak 2, 3, 4 edo 6 urteko ziklokoak izan zitezkeelako, aldiz 13 urtekoa izanik, zeintzuk dira aukerak? Mirari honen atzean dagoen kontzeptu matematikoari buruz hausnartzera animatzen zaitut.

Ebatzi gabeko misterioak

1742. urtean Goldbach matematikariak bere aierua formulatu zuen: "2 baino handiagoa den edozein zenbaki bikoiti, bi zenbaki lehenen batura gisa idatz daiteke". Adibidez: 42 = 5 + 37 da. Zenbakiak infinituak direnez, aierua baieztatzea lan zaila da; 1966. urtean Chen Jingrun txinatarra aierua ebaztear egon zen, baina oraindik ez da erabat lortu. Golbach-en aieru honi buruzko istorio bat ezagutu nahi baduzu, "La habitación de Fermat" pelikula interesgarria ikus dezakezu.

Ikusi ahal izan duzuenez, zenbaki lehenen mundua ebatzi gabeko misterioez inguratuta dago, eta mezu honetan kontatutakoa laburpen bat besterik ez da. Ikertu zuk zeuk mundu hau, gustoko baldin baduzu, Marcus du Satoy matematikariaren laguntzaz:

Iturri nagusia: Javier Duoandikoetxea-ren zenbaki lehenei buruzko dokumentua. Beste iturri batzuk: Clifford A. Pickover. Enrique Gracián

Fermat matematikazale zirikatzailea

Aski ezaguna dugu denok Pitagorasen teorema, zeinaren arabera edozein triangelu zuzenetan, hipotenusaren karratua bi katetoen karratuen arteko baturaren berdina da. Aljebraren bidez adierazten badugu aho-korapilo hau, triangeluaren aldeen luzerak a, b eta c hizkiekin adierazita honelaxe geratzen da:

Pitagoras-en teoremaren demostrazioetako bat

 

Jakin badakigu soluzio oso desberdinak badaudela (hamartarrik gabekoak), goiko marrazkian ikus dezakegun bezala (9 + 16 = 25 betetzen baita), eta ez da zaila pentsatzea berretzaileak igotzen baldin bagoaz, gauza bera gertatuko dela. Esaterako, berretzailea 3 bada, hau da, karratuen ordez kuboetan pentsatzen badugu, erraza da soluzioen bila jartzea, baina hara non sorpresa: berretzailea 2 baino handiagoa bada, ez dago soluzio osorik!

Dirudienez, Pierre Fermat matematikazale frantsesak ohartarazi zigun lehendabiziko aldiz bitxikeria honetaz (nire ikasleen artean frantsesa ikasten ari diren horiei bereziki eskainia):

Zergatik deitu diot gizon honi matematikazale zirikatzailea? Soilik soluzio osoak baimentzen dituzten ekuazioei diofantiko deitzen diegu, Diofanto izan baitzen haiek aztertzen lehendabizikoa antzinako Grezian. Fermat Diofantoren Aritmetica liburua irakurtzen ari zela, marjinean ondokoa idatzi zuen: 

"Ezinezkoa da karratua baino handiagoko edozein berretura, mota bereko beste bi berreturen arteko baturaren bidez lortzea. Demostrazio zoragarri bat lortu dut, baina liburu honen marjina txikiegia da hura idazteko".

Eta horrelaxe, patxada horrekin, Fermat 1665. urtean hil zen eta jendeak ezin izan zuen jakin esaldi hura egia zen ala ez. Fermat-en Azken Teoremaren baieztapen horrek kezkaz beterik izan ditu ia 400 urtetan zehar mundu osoko matematikariak:

• 1753.ean Eulerrek n=3 kasua demostratu zuen.
• 1825.ean Legendre eta Dirichlet-ek independienteki n=5 kasua demostratu zuten.
• 1839.ean Lamé-k n=7 kasua demostratu zuen.
• Urteetan zehar n kasu guztien demostrazio okerrak izan ziren.
• 1995. urtean Andrew Wiles matematikariak benetako demostrazioa argitaratu zuen (bi urte lehenago aurkeztu zuen baina ez zen erabat egokia, eta konponketa batzuen ostean, lortu zuen behin betikoa). Zortzi urtetan zehar isilpean eta ezkutuan egin omen zuen lan hura lortzeko! Gure ikasketetan ere irmotasun hori edukiko bagenu...

Informazio gehiago ondoko bideoan:

Eskerrik asko: Malena Martín , Anne Rooney, Tony Crilly, Claudi Alsina.

Zenbaki irudikariak. Izenak esaten du dena

1 zenbakiaren erro karratua 1 da, baina zenbat da -1 zenbakiaren erro karratua? Zein da ber bi eginez -1 aterako den zenbakia? Ikasi dugun bezala, ber bi eginez zenbaki guztiak positibo egiten dira. Orduan, nola konpondu egoera hau?

Zenbaki negatiboen erro karratuekin Cardanok egin zuen topo lehendabiziko aldiz 1545.ean, bere Ars Magna liburuan  3. eta 4. mailako ekuazioen ebazpena azaltzen ari zenean: "banatu 10 bi zatitan, haien arteko biderkadurak 40 emango duelarik". Berak ez zituen oraindik zenbaki gisa onartu, baina behintzat zioen "oinaze handirik gabe, bi soluzioen arteko biderkadurak 40 ematen duela ikus dezakegu"  $$x·\left( 10-x \right) =40\\ \\ { x }_{ 1 }=5+\sqrt { -15 } \\ { x }_{ 2 }=5-\sqrt { -15 } \\ \\ \left( 5+\sqrt { -15 }  \right) \left( 5-\sqrt { -15 }  \right) =25-\left( -15 \right) =40$$ 

 

Urteetan zehar matematikariek ezin zuten konpondu egoera hau, 1572.ean Rafael Bombelli ingeniari italiarrak  -1en erro karratua zenbaki gisa kontutan hartu zuen arte. Matematikari askok ez zituzten erabat onartu; are gehiago, Descartesek mespretxuarekin deitu zien zenbaki irudikariak. 1777. urtean Eulerrek i zenbakiarekin izendatu zuen  irudikari hitzaren lehendabiziko hizkia hartuz:

i zenbakia

 

Baina zenbaki gisa onartu ondoren, nola kokatu zuzen errealean? 1673.ean John Wallis-ek zenbaki konplexu bakoitzari planoko puntu bat egokitu zion: ardatz batean zati erreala eta beste ardatzean zati irudikaria. Ondoren 1806an Jean Robert Argand matematikari suitzarrak horrelaxe adierazi zituen:

Plano konplexua

 

W.R. Hamilton-ek, aldiz, ez zuen beharrezkoa izan i erabiltzea, nahikoa baitzen (a,b) pare ordenatuarekin. Modu batean ala bestean, benetan ikusgarriak diren irudi geometrikoak sor daitezke zenbaki konplexuak erabiliz. Esaterako, 1980. urtean Mandelbrot-ek beheko irudia azaldu zuen, formula sinple batean zenbaki konplexuak ordezkatuz; ondoko bideoan ikus daiteke nola sortu irudi zoragarri hau GeoGebra softwarea erabiliz: $${ z }_{ n+1 }={ z }_{ n }^{ 2 }+c$$

Mandelbrot-en multzoa

 

Arraroa badirudi ere, gaur egungo aurrerakuntza asko ez ziren izango posible zenbaki irudikariak gabe: korronte alternoa, erlatibitatearen teoria, seinale prozesaketa edo fluidoen mekanikan, beste batzuen artean.

Eskerrik asko: Tony Crilly, Ian Stewart, Clifford A. Pickover. Informazio gehiago aurki dezakezu Rafael Andres Alemañ http://es.slideshare.net/raalbeautor/numeros-complejos ikertzailearen diapositibetan.

Euklidesen "Elementuak": geometriako bilduma elkarlanean

Euklides (K.a.325-265 inguru), Egiptoko Alexandria hirian bizi izan zen matematikari greziarra izan zen. Bere lorpenik handiena matematikako libururik ospetsuena idaztea izan zen: Elementuak izenekoa, geometriari buruzkoa. Bi mila urte baino gehiagotan zehar erabili izan da! Nola da posible duela 2000 urte baino gehiago aurkitutako ezagutzek gaur egun ere balio izatea? Hurrengo lerroetan aurkituko duzu erantzuna.

K.a. 300. urtearen inguruan Euklidesek ordura arteko geometriari buruzko ezagutza guztia biltzea erabaki zuen. Beraz, bere liburuko aurkikuntzak ez dira denak bereak! Hain zuzen ere kontrakoa: garai hartako matematikari greziarren ezagutzak agertzen dira bertan.

Elementuen bertsio zaharra, wikiwand.com-etik

 

 

 

Zeintzuk dira bertan agertzen diren gaiak? Geometria laua, zenbakien teoria, algebra eta geometria solidoari buruz hitz egiten duen arren, atalik aipagarriena geometria lauari dagokiona da. Bertan, teoria guztia soilik oinarrizko bost axiometatik abiatuz garatzen du (axiomak frogatu gabeko baina agerian geratzen diren oinarrizko esaldiak dira), eta horri esker izan da bere obra hainbeste urtetan zehar onartua:

1. Edozein bi puntu zuzen bakar baten bitartez lotu daitezke.
2. Edozein zuzenki, zuzen batera luza daiteke.
3. Zirkulu bat edozein zentru eta edozein erradiorekin marraztu daiteke.
4. Angelu zuzen guztiak berdinak dira haien artean.
5. Puntu bat eta zuzen bat izanik, puntu horretatik igarotzen den eta zuzenarekiko paraleloa den zuzen bakar bat marraztu daiteke.

Beno ba, harrigarria badirudi ere, axioma hauek bi mila urtetan zehar baliogarriak izan direnez, Euklidesen gainontzeko demostrazioak ere izan dira onargarriak haiekin batera. Baina... noiz arte? XIX. mendean beste matematikari batzuek 5. axioma horren kontrakoa frogatu zuten arte. Hortaz, ordura artekoari geometria euklidearra deitu zitzaion, eta bertan agertutako berriei geometria ez euklidearrak (esaterako, geometria esferikoa edo hiperbolikoa).

Eta nola aurkitu izan da liburua? Zoritxarrez, Euklidesek papiroetan idatziko zuen bere obra, eta dakigunez, hauek oso hauskorrak dira. Nahiz eta papiro original haietako batzuk oraindik mantendu (hiri zahar bateko zaborretan aurkitua, pentsa!), bere obra osoa K.o. IX. mendeko itzulpen baten bitartez iritsi zaigu.

Oxirrinco-ko papiro originala

Hau guztia jakinda, zein da Euklidesen meritua? Bere obra berezia egiten duena da, frogan oinarritutako matematikaren adibiderik zaharrena direla. Gainera, bere garaiko ezagutza matematiko guztiak biltzea lortu zuen, eta informazio hori guztia egitura logiko baten bidez antolatu zuen. Garai hartan ez zegoen Internetik!

Eskerrik asko: Anne Rooney, Clifford A. Pickover. Hemen aurkeztutako informazioa laburpen bat besterik ez da. Gehiago jakin nahi baduzu, joan zaitez orri honetara.

Tirabirak ekuazioen soluzioak aurkitzeagatik

Bigarren mailako ekuazio polinomikoen ebazpena antzinatik ezagutzen dela badakigu, eta gainera eskolan erakusten den ebazpen ospetsuenetako bat da. Baina zer dakigu 3. maila eta goragoko ekuazioen inguruan? Abentura honetan Berpizkundeko bi italiar aurkitzen ditugu: Niccolò Fontana (Tartaglia ezizenarekin ezaguna, haren toteltasuna zela eta) eta Girolamo Cardano, biak XVI. mendekoak. Haien izan ziren matematikarien arteko borroka ezagunenetako baten protagonistak, ondorengo lerroetan jabetuko zaren bezala.

1545. urtea erabakigarria bihurtu zen algebraren munduan, orduan argitaratu baitzituen Cardanok 3. eta 4. mailako ekuazio polinomikoen soluzioak bere Ars Magna izeneko liburuan. Baina.... berak ez zuen bat ere lortu!!! 3. mailako ekuazioak ebazteko formula aurretik Tartagliak lortu zuen, baina badirudi Cardanori kontatu ziola honek gero argitaratuko ez zuela konpromezua hartuz. A ze konpromezua! Orduz geroztik bien arteko liskarra eta haserrea galanta izan zen. Eta 4. mailako ekuazioen ebazpena ere Ludovico Ferrari bere idazkariak aurkitu zuen. Harrigarria!

Zergatik orduan egin zuen hau Cardanok? Bera eta bere idazkariari, haien aldetik 4. mailako ekuazioekin lanean zeudelarik, oso aproposa iruditu zitzaien Tartagliak bere soluzioa ematea haien lanarekin aurrerapen handiagoak egin ahal izateko. Dena den, jarri ahalko zenituzke zure izenpean beste norbaitek lortutako aurkikuntzak? Batak ala besteak, 3. eta 4. mailako ekuazioak ebazteko formulak aurkitu egin zituzten, erabiltzeko errazegiak ez baziren ere (horrexegatik ez ditugu ipiniko hemen; zuk zeuk ikertu nahi baduzu, animatzen zaitut).

Niels Abel

Eta zer gertatzen zen 5. maila edo goragoko ekuazio orokorrekin? XVI. mendetik aurrera matematikariak jo ta ke ibili ziren ebazpen horren bila, baina ez zen izan 1824. urtera arte Niels Abel gazteak (soilik 19 urterekin) emaitza lortu zuenean. Eta hara non ustekabea: ez zegoen formularik!!! Abel-ek demostratu zuen ez zela posible topatzea 5. maila edo goragoko ekuazio orokorrak ebazteko formula algebraikorik.

Espero al zenuen hau? Garaiko matematikariek ez, eta horrexegatik haietako batzuek oraindik jarraitu zuten XIX. mendean zehar soluzio desiratuaren bila.

Eskerrik asko: Carl B. Boyer, Tony Crilly,

Soilik bost poliedro erregular?

Bi kontzeptu argi izan behar ditugu hasieratik:

• Poliedroa: aurpegi gisa poligonoak dituen hiru dimentsioko irudi mugatua da. 
• Poliedro erregularra: aurpegi guztiak berdinak eta erregularrak dituen poliedroa da (aldeberdinak eta angeluberdinak). Horretaz gain, poliedro erregular baten erpin guztietan aurpegi kopuru berdina elkartzen da.

Jakinda zer den poliedro erregular bat, osotara, zenbat poliedro erregular existituko direla uste duzu? Hasiera batean kopuru handi bat datorkigu burura, baina soilik bost existitzen dira! Nola da posible hau?

K.a. IV. mendeko Atenas-ko Teeteto izan omen zen bost solido platoniko hauen deskribapen osoa eman zuen lehendabiziko matematikaria. Solido platonikoak? Zergatik orain Platonen izena? Ez al ziren izan beharko Teetetoren solidoak? Batzuetan historia bidegabekoa da, eta kasu honetan Platonek ez zituen poliedro horiek aurkitu; berak soilik ospetsu bihurtu zituen unibertsoarekin zerikusia zuen teoriaren bitartez.

Platonen ustez, K.a. 350. urtearen inguruan idatzitako bere Timeo obran, geometria unibertsoa ulertzeko gakoa zela zioen. Obra horretan unibertso osoa bost poliedro erregularren bidez adierazia zegoela zioen: tetraedroa sua (agian bere ertzen itxura zorrotzaren erruz), kuboa lurra (bere itxura egonkorragatik), oktaedroa airea, dodekaedroa unibertsoa (bere ustetan Jainkoak hala antolatu zituelako zeruko konstelazioak) eta ikosaedroa ura (ziurrenik bere itxura borobilagoagatik, ez hain zorrotza).

Halere, Euklides (Alexandria, IV-III. mendeak) matematikariari zor diogu existentzia mugatu honen lehen demostrazioa bere Elementuak obran. Ongi ulertu nahi baduzu, arretaz irakurri beharko duzu:

1. Erpin bakoitzak hiru aurpegi elkartu beharko ditu gutxienez (batekin ezin dugu poliedro bat osatu, eta bi aurpegi elkartuz ertz bat izango dugu, eta ez erpin bat).
2. Erpin batetik poliedro bat osatu ahal izateko, angeluen batuera 360 gradu baino txikiagoa izan beharko da, bestela plano bat osatuko genukeelako.
3. Beraz, gutxienez hiru angelu egon behar direnez, angelu bakoitzak 360/3 = 120 gradu baino gutxiago neurtu beharko du.
4. Aurreko baldintza betetzeko erabili ditzakegun poligonoak (aurpegiak) gehienez 5 aldekoak izan beharko dira, 6 aldeko poligono batek dagoeneko 120 graduak osatzen dituelako aldeen artean.
5. Ondorioz, soilik bost kasu egongo dira:

• Aurpegi triangeluarrak: 60 gradu dituztenez, soilik 3, 4 edo 5 triangelu elkartu ahalko dira erpin batean, tetraedroa, oktaedroa eta ikosaedroa osatuz, hurrenez hurren. 6 edo gehiago izanik, 360 gradu edo gehiago izango ditugu.
•  Aurpegi karratuak: 90 gradu dituztenez, soilik 3 karratu elkartu daitezke, 4rekin 360ra iristen garelako. Hortaz, kuboa da aukera bakarra.
• Aurpegi pentagonalak: 108 gradu dituztenez, soilik 3 pentagono elkartu ahalko ditugu 360 graduak ez gainditzeko. Beraz, dodekaedroa da aukera bakarra.

Azkenik, Leonhard Euler izeneko matematikari eta fisikari suitzar emankorra aurki dezakegu ildo honetatik. Lehenik eta behin, poliedro ganbil baten baldintza zein den argitu behar dugu: barne erpinak elkartzen dituzten zuzenki guztiak, poliedroaren barruan gelditzen dira. Berak, 1751. urtean, edozein poliedro ganbilen elementuak erlazionatzen dituen formula ezagun bat demostratu zuen:

            Aurpegiak + Erpinak = Ertzak + 2

Ondoko taula behatzen baduzu, aurreko Eulerren formula solido platonikoetan egiaztatu egiten dela:

Eskerrik asko: Clifford A. Pickover, Carlos Quesada, Mickaël Launay

e, hazkundearen zenbakia

e zenbakia... zenbaki errealen sailkapena osatzen ari garenean, ikasleak harrituta gelditu ohi dira zenbaki hori existitzen dela esaten diedanean. Baina zer da e? Nondik ateratzen da? Zergatik da irrazionala?  

e zenbakiaren lehen hogei zifra hamartarrak 2'71828182845904523536... dira. 1618. urtean John Napier matematikari eskoziarra topatu zen lehen aldiz zenbaki honekin, logaritmoekin lanean ari zenean. Logaritmo nepertarra, e oinarria duena, Napierrek proposatutakoa hain zuzen ere! Horrexegatik izen hori.

XVII. mendean jarraituz, Jakob Bernoulli matematikari suitzarra aipatu beharra dugu (abizen hau maiz entzungo duzu matematiketan, zientzialariz beteriko familia handi bat osatzen zutelako). Bere kasuan, interes konposatuko buruketak ebazten ari zela, e zenbakiarekin aurrez aurre topo egin zuen. Zer gertatzen da x gero eta handiago egiten denean? Saia zaitez excel edo kalkulagailuaz.

 

Baina ez zen izan 1727ra arte Leonhard Euler matematikari eta fisikari suitzarra zenbaki hori aztertu eta lehen aldiz hala izendatu zuenean. 1737.ean Eulerrek zenbakia irrazionala zela demostratu zuen, hau da, ezin zela bi osoren zatiki eran adierazi, eta bere lehen 18 zifrak ere aurkitu zituen. Gaur egun ehun mila milioi zifra baino gehiago ezagutzen dira!!!

Aurrerago, Lagrange matematikari frantziarrak lehen aipaturiko limitearen ordez, serie infinitu baten bitartez lortu zuen e zenbakia (harridura ikurrak "faktorial" esan nahi du, adibidez  4! = 1·2·3·4). Hartu zure kalkulagailua, eta x = 1 aplikatuz, ea zein baliora hurbiltzen zaren:

1873.ean, Hermite-k egiaztatu zuen irrazionala izateaz gain, traszendentea zela, ekuazio algebraikoen emaitza gisa inoiz topatuko ez genuelako.

Non aurki dezakegu bizitza arruntean?

• Substantzia erradioaktiboen desintegrazioaren kurba e-ren arabera deskribatzen da. Funtzio esponentzialaren araberako portaera dugu. Gogoratzen duzu zer gertatzen zen x ardatzera hurbiltzean?
• Poisson-en banaketan probabilitatean.
• Bankuan dirua gordetzen dugunean eta interes konposatua kalkulatzean.
• Injeniaritzan, zubi esekiaren forma deskribatzeko erabiltzen da (adibidez, argazkiko Gateaway Arch, San Louis-en). 192 m-ko altuera du eta beheko ekuazioaren arabera egina dago:

Gateaway Arch, San Louis-en

Katenariaren itxura hobeto ikusteko, ireki GeoGebra eta a parametroari balioak emanez, saia zaitez irekiera desberdineko kurbak lortzen. Kontuz! Parabolekin konfunditu ohi dira, baina propietate desberdinak dituzte.

Katenariaren formula

 

Bukaera emateko, e zenbaki berezi honi buruzko gehiago ikasi nahi baduzu, egin klik ondorengo bideoan:

 

Eskerrik asko: Tony Crilly, Pickover.